《线性代数核心概念》是一本专注于解析线性代数基本原理和关键理论的学习资料，适合初学者及需要复习巩固的学生使用。
### 线性代数的本质
#### 一、线性组合、张成的空间与基
1. **线性组合**
- 定义：向量的线性组合是指通过向量间的加法及与标量的乘法形成的新向量。例如，如果有两个向量 \(\mathbf{v}_1\) 和 \(\mathbf{v}_2\)，那么它们的线性组合可以表示为 \(a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2\) ，其中 \(a\) 和 \(b\) 是标量。
- 意义：线性组合的概念帮助我们理解如何通过几个简单的向量来构建更复杂的向量结构。
2. **张成的空间**
- 定义：给定一组向量 \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}\)，所有这些向量的线性组合形成的向量集合称为它们张成的空间。
- 特性：
- 当两个向量 \(\mathbf{v}_1\) 和 \(\mathbf{v}_2\) 不共线时，它们的 span 将覆盖整个二维平面。
- 如果它们共线，则 span 只会是一条直线。
- 在三维空间中，三个不共线的向量 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) 的 span 将覆盖整个三维空间。
- 应用：张成的空间概念对于理解线性独立性和线性空间的基础非常重要。
3. **基**
- 定义：向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够张成该向量空间。换句话说，任何向量都可以表示为这组向量的线性组合。
- 特性：
- 基中的向量都是线性无关的。
- 任何多余的向量都位于已有基向量的 span 中，因此可以被去除而不影响 span。
- 基的选择不是唯一的，但同一空间的不同基所包含的向量数目相同。
#### 二、线性变换
1. **线性变换的基本性质**
- 线性变换要求：
- 直线在变换后仍保持为直线。
- 原点位置不变。
- 通过线性变换，可以直观地理解向量空间的变化过程。
2. **变换的表示**
- 给定一组基向量，可以通过观察这些基向量在变换后的形态来确定整个空间的变化情况。
- 例如，在二维空间中，可以通过观察标准基向量 \(\mathbf{e}_1\) 和 \(\mathbf{e}_2\) 的变化来确定变换的效应。
3. **复合变换**
- 二维复合变换：先进行旋转再进行剪切操作，可以通过逐层应用变换矩阵来实现。
- 三维复合变换：与二维空间相似，但涉及更多的维度和复杂性。
- 可解释性：通过复合变换，可以直观理解不同变换的顺序对结果的影响，例如矩阵乘法的顺序性和结合律等。
#### 三、行列式
1. **二维空间中的行列式**
- 定义：行列式是衡量变换前后面积变化的比例因子。
- 意义：行列式的正负表示空间的定向是否发生翻转。
- 计算方法：对于二维变换，行列式的绝对值即为变换后面积与原面积的比例。
2. **三维空间中的行列式**
- 类似于二维空间，但计算的是体积变化的比例。
- 行列式的绝对值等于变换后的平行六面体体积与原始体积的比例。
3. **行列式的可解释性**
- 通过行列式的值可以判断矩阵所代表的变换是否会将空间压缩到更低维度。
- 行列式的乘法符合结合律，这意味着多次变换的累积效果可以通过各自行列式的乘积来计算。
#### 四、非方阵
1. **几何意义**
- 非方阵表示从较高维度空间到较低维度空间的映射。
- 例如，一个 \(m \times n\) 的矩阵可以表示从 \(n\) 维空间到 \(m\) 维空间的映射。
2. **可解释性**
- 非方阵的行列式没有明确的意义，因为它们涉及不同维度之间的变换，这种情况下无法简单地计算变换前后“体积”或“面积”的比例。
- 无法计算非方阵的行列式是因为其定义在不同维度的基向量变化之间，缺乏统一的度量
5星
