Python中Gauss-Seidel迭代算法的详细实现
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简介：
本文章深入探讨并实现了Python中的Gauss-Seidel迭代算法，通过逐步解析和代码示例，帮助读者理解这一数值分析方法，并应用于求解线性方程组。
### Gauss-Seidel 迭代算法的 Python 实现详解
#### 一、Gauss-Seidel 迭代法简介
Gauss-Seidel 迭代法是一种数值分析中的求解线性方程组的方法，属于直接法与迭代法之间的算法之一。它通过对矩阵的分解，逐个更新未知数的值来逼近方程组的解。相较于 Jacobi 方法，在每次迭代过程中使用了最新的已更新的值，这通常能加速收敛。
#### 二、Gauss-Seidel 迭代算法原理
假设我们要解决形如 Ax = b 的线性方程组问题，其中 A 是 n×n 的矩阵，x 和 b 分别是 n 维列向量。Gauss-Seidel 方法的基本思想是对每个方程进行分解，并利用前一个未知数的最新估计值来计算下一个未知数的估计值。具体步骤如下：
1. **初始化**：选择初始近似值 x^(0)，通常可以选择全零向量。
2. **迭代公式**：对于 k 次迭代（k = 1, 2, 3, ...），计算新的近似值 x^(k+1) 如下：
- 对于每一个 i (i = 1, 2, ..., n)，有
[
x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x^{(k+1)}_j - \sum_{j=i+1}^n a_{ij}x^{(k)}_j\right)
]
其中，\(a_{ij}\) 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素；\(x^{(k)}\) 表示第 k 次迭代时未知数的近似值向量。
3. **停止准则**：当达到某个预先设定的迭代次数或近似解的变化足够小时，迭代过程终止。例如，若近似解的变化量小于某个小正数 \(\Delta\)，则停止迭代：
[
\max{|x^{(k+1)}_i - x^{(k)}_i|} < \Delta
]
#### 三、Python 实现详解
##### 3.1 Gauss-Seidel 迭代算法的 Python 函数定义
```python
import numpy as np
import time
def gauss_seidel(A, b, delta, max_iter):
start = time.perf_counter()
find = False
X = np.ones(len(b))
for i in range(max_iter):
x_new = np.copy(X)
# 迭代更新每个变量值
for j in range(len(b)):
a_sum_left = sum(A[j, k] * x_new[k] for k in range(j)) # 左边的和
a_sum_right = sum(A[j, k] * X[k] for k in range(j + 1, len(b))) # 右边的和
x_new[j] = (b[j] - a_sum_left - a_sum_right) / A[j][j]
# 判断是否满足精度要求
if np.max(np.fabs(X - x_new)) < delta:
find = True
break
X = np.copy(x_new)
end = time.perf_counter()
return X, find, i, (end - start)
```
##### 3.2 张量 A 的生成函数和向量 b 的生成函数
```python
def create_A(m, n):
size = [n] * m
while True:
A = np.random.randint(-49, 50, size=size)
D = np.copy(A)
for i in range(n):
for j in range(n):
if i != j:
D[i][j] = 0
det_D = np.linalg.det(D)
if det_D != 0:
break
# 调整主对角线上的元素
for i1 in range(n):
A[i1, i1] *= 10
return A
def create_b(A, X_real):
a = np.copy(A)
for _ in range(len(X_real) - 2):
a = np.dot(a, X_real)
b = np.copy(a)
print(b:)
print(b)
return b
```
##### 3.3 对称张量 S 的生成函数
```python
def create_S(m, n):
size = [n] * m
S = np.zeros(size)
for i in range(4):
a = (np.random.rand(n)) *
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