本文章全面解析MATLAB中fmincon函数的三种优化算法（SQP、子空间信赖域及主动集法），深入探讨其原理和应用。适合工程与科研人员参考学习。
### 优化设计-fmincon函数介绍-序列二次规划(SQP)-子空间信赖域(subspace_trust_region)-有效集(active_set)
#### fmincon函数概述
`fmincon`是MATLAB中的一个重要工具，用于解决具有多个变量和复杂约束条件的非线性优化问题。它能够找到使目标函数最小化的点，并确保满足给定的一系列约束。
#### 数学模型
使用`fmincon`的目标是最小化一个非线性函数F(X)，同时保证X满足以下约束：
- **线性不等式**：A * X ≤ B
- **线性等式**：Aeq * X = Beq
- **非线性不等式**：C(X) ≤ 0
- **非线性等式**：Ceq(X) = 0
- **边界约束**：LB ≤ X ≤ UB
其中，X、B、Beq、LB 和 UB 是向量，A和 Aeq是矩阵。目标函数f(x)，以及不等式和等式的非线性部分c(x) 和 ceq(x)，可以是非线性的。
#### 调用格式
`fmincon`的调用方式如下：
```matlab
[x, fval, exitflag, output] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);
```
- `fun`: 目标函数句柄。
- `x0`: 初始点。
- `A` 和 `b`: 线性不等式约束矩阵和向量。
- `Aeq` 和 `beq`: 线性等式约束的矩阵和向量形式。
- `lb` 和 `ub`: 向量表示变量的下界与上界。
- `nonlcon`: 非线性约束函数句柄。
#### 返回值解释
- `x`: 最优解向量。
- `fval`: 目标函数在最优点X处的值。
- `exitflag`: 表示算法结束状态的标志。
- `output`: 包含优化过程信息的数据结构体。
#### 序列二次规划(SQP)
SQP是一种处理非线性等式和不等式的优化问题的有效方法。它通过将原问题逐步转化为一系列更简单的二次子问题来求解，每个子问题是基于当前迭代点的局部近似模型构建出来的，并且随着迭代次数增加逐渐逼近原始问题。
##### SQP的基本步骤
1. **拉格朗日函数Hessian矩阵更新**：采用BFGS方法估计拉格朗日函数的Hessian矩阵。
2. **二次规划求解**：使用当前Hessian近似值解决一个二次子问题，以确定搜索方向。
3. **一维搜索和目标函数评估**：沿着找到的方向进行线性搜索，并更新最优点。
#### 子空间信赖域算法
对于大规模优化问题，`fmincon`采用了一种名为subspace_trust_region的策略。该方法在每次迭代中于一个局部区域（信任区域）内对目标函数进行泰勒展开至二阶项，以找到新的解更新方向。这种方法确保了每一步都有所改进，并且能够有效地处理大规模问题。
#### 有效集算法
对于具有线性约束的问题，`fmincon`使用有效的集合方法来迭代地构建和调整一个包含活动约束的集合（即当前最优解需要满足的所有限制）。通过这种方式逐步逼近全局最佳解决方案。
这些不同的优化策略使得`fmincon`能够灵活应对各种规模与类型的非线性问题，并高效求得最优点。
5星
