《离散数学题库答案》

简介：
《离散数学题库答案》是一本全面解析离散数学习题的答案集，涵盖集合论、图论、组合数学等多个领域，适合学生和教师参考使用。 在离散数学学习过程中可以总结出以下关键知识点： ### 一、数理逻辑 #### 永真蕴含式与永真式 - **永真蕴涵式**是指一个条件命题，无论赋值如何都为真。 - 示例：(1)Q=>P→Q (4)[pic]P[pic](P[pic]Q)=>[pic]P - **永真式**是不论变量取何值总是真的命题。 - 示例：(2)P→(Q→Q) (3)(P[pic]Q)→P (4)P→(P[pic]Q) #### 永真蕴涵式的判定 - (1) P=>P[pic]Q 不为永真蕴含式，因为当P为真时，不一定有P[pic]Q也为真。 - (2) P[pic]Q=>P 为永真蕴涵式，因若P[pic]Q为真，则必有P也成立。 - (3) P[pic]Q=>P[pic]Q 是永真蕴含式，因为该命题本身即条件表达形式的直接结果。 - (4) P[pic](P→Q)=>Q 为永真蕴涵式，当P为真时，要使整个公式成立则需有Q也为真。 - (5)[pic](P→Q)=>P 是永真蕴涵式，若条件命题不满足，则前提必假。 - (6) [pic]P[pic](P[pic]Q)=>[pic]P 为永真蕴含式，当P为假时则有 P[pic]Q 必然成立。 #### 自由变元与约束变元 - 在公式(x((A(x)(B(y，x))((zC(y，z))(D(x)中,自由变元是 x 和 y ，而约束变元包括 x 和 z 。 - **自由变元**是指不在量词作用范围内的变量值不受限制。 - **约束变元**则是在量词控制下的变量其取值受制于该量词。 #### 命题的真假判断 - 判断一个陈述是否为命题并给出真值，需确认它能被判定真假。例如，“北京是中华人民共和国首都是命题且为真（T）”；“陕西师大是一座工厂不是命题但若视作假命题则为F”。 #### 命题的否定形式 - “存在一些人是大学生”的否定即“所有人都不是大学生”，而“所有的人都是要死的”的否定则是“有些人生存不会终结”。 #### 谓词逻辑的应用 - 当个体域设为整数集时，公式(1)(x(y(x+y=0)表示对任一整数x存在y满足条件；同样，公式(2)(y(x(x+y=0)意味着存在某特定的y值使所有x都符合定义。 #### 谓词公式的真值分析 - 若全体域D为正整数集合，则： - (1)(x(y(xy=y)) 为假（F），因为并非每个正整数乘以另一个都能等于自身。 - (2)(x(y(x+y=y)) 同样不成立，因加法不能使结果不变。 - (3)(x(y(x+y=x)) 不可能实现，即不存在这样的y值使得任何x加上它自己仍为原数。 - (4)(x(y(y=2x)) 为真（T），因为确实存在正整数值满足条件。 #### 集合论 - 在集合论中理解表示与运算至关重要： - 对于给定的 A={a,{a}}，{a} 属于 P(A)。 - P(A) 表示A的所有子集组成的幂集。命题“并非每个实数都是有理数”的符号化形式为[pic](x(R(x)[pic]Q(x))。 - 当集合S的基数|S|=5，则其幂集基数|P(S)|=2^5即32。 通过上述知识点的学习，可以更好地掌握离散数学的基础概念和原理。