附录F 有限体积法计算方腔流(F).doc

简介：
该文探讨了基于有限体积法的数值模拟方法用于分析方腔流动特性。本篇文章旨在详细阐述计算流体力学中有限体积法在求解方腔流动问题中的应用。具体而言，本文将涵盖其基本数学模型包括基本方程组、初始条件和边界条件，并结合数值模拟的关键步骤如计算网格划分与控制体单元定义，同时采用三阶迎风型离散格式进行算法实现。一、核心数学模型及其限定性约束条件二维不可压缩粘性流体的二维定常腔内流动问题可通过N-S方程组来描述，其数学模型可通过以通用变量为基础建立的微分方程组形式进行求解∂u关于x的变化率与v关于y的变化率之和等于零；同时，在时间维度上，u的变化率加上由流速引起的沿x方向的迁移效应以及沿y方向的迁移效应，其总和等于单位密度压力梯度的负值与粘性作用下空间二阶导数项之差。类似的结构也适用于v方程：即随体变化率加上对流效应，最终达到压力梯度驱动下的平衡状态。在该情境中，u 和 v 分别作为沿水平和垂直方向流动的速度参数被定义；其中 ρ 表示流体的黏度系数，p 是压力值，而 ν 则是速度场中的微元运动量。矩形空间的上边界以单位速度沿上边界水平向右流动。边界条件：对于流动速度的所有取值均应遵循无剪切力的边界条件设定；同时，在压力场计算中可采用自然出口的方式进行处理。二、确定计算区域的空间分划方式并明确各物理量在控制体单元内的分布规律和数值关联。通过交错网格结构进行计算，这些示意图分别见图F.2和F.3。在图中可以清晰看出节点所在主控制单元的位置，其邻近方向上的节点分别为P和E，在另一侧则为N和W。相应地，主控制单元的界面分别标记为e和w。第三章有限体积法的高精度迎风差分格式通过对其所在的控制体单元内进行积分，可以得到方程（F.1）在其所在的控制体单元内的解。双重积分(∂u/∂t + u·∂u/∂x + v·∂u/∂y) dxdy = 双重积分(-1/ρ · ∂p/∂x + ν (∂²u/(∂x²) + ∂²u/(∂y²))) dxdy。由于该二维不可压缩黏性流体的方腔流动属于平面问题，因此其控制体单元体积仅仅等于面积，而其边界面则由线段构成。假设取∆x=∆y=h，则原式(F.2)可被重新表述为以下有限体积法的离散形式：(东节点的速度减去西节点的速度)乘以Δx加上（东节点速度减中心点速度）乘以Δy等于负一倍的密度乘以（东边压力减去西边压力）再乘以Δx加上粘性系数ν乘以[（东节点速度减二倍中心点速度加西节点速度）乘以Δx平方加（北节点速度减二倍中心点速度加南节点速度）乘以Δy平方]。在该式中应用了一阶前向差分的一次逼近，其结果为：(东向速度减去西向速度)乘以∆x加上（东向速度减去中心点速度）乘以∆y等于负一倍的ρ乘以（东压与西压之差）再乘以∆x加上ν倍于括号内部分：首先是（东向速度减去二倍中心点速度再加上西向速度）乘以∆x平方，其次是（北向速度减去二倍中心点速度再加上南向速度）。同时进行记录 a_e 表示密度与时间步长乘以空间增量的乘积； a_w 同样等于密度与时间步长和空间增量的乘积； a_n 则为密度与纵向增量和时间步长的乘积； a_s 等于其对应的空间增量和时间步长的乘积； b 则是负号后括号内之差值，再乘以密度及横向增量； 则可表示为式（F.2）a_Pu_P等于a_Wu_W加上a_Eu_E、a_Nu_N、a_Su_S以及常数项b。其中，属于该控制体单元内部各节点的已知参数包括其物理属性和初始条件等关键指标。通过差分方法进行数值计算，可以得到该区域边界处的流量信息，从而求解出节点上未知量。四、有限体积算法三阶迎风差分格式处理分析为了便于展开探讨一维对流扩散方程的三阶迎风型离散格式的数值特性分析：在三阶迎风型离散格式中，应从该控制单元界面两侧取其两侧边界的流动量值进行插值计算求解主控制单元界面上的流动量分布情况。其中两边节点分别与该界面相邻，第三边取距该面较远处的节点作为插值点。如图 F.4 所示。根据具体情况，采用三个节点值拟合曲线的方法计算主控制单元左侧界面参数；类似地，基于三个节点值的采用来计算右侧界面参数。当特定条件满足时，则分别通过、和三个节点值进行运算，以求得主控制单元左、右两侧界面参数的综合数值。根据上述计算原则，可以得到界面参数计算公式如下：在那个时候，用于计算界面参数的公式等于。φ_e等于(φ_P + φ_E)的二次方加上十四倍的(φ_W - φ_E)，其中式(14)。在当前状态下，该界面的参数计算公式被明确地表述如下：由下式给出的值为：φ_w = (φ_P + φ_W)²加上（14）乘以与的差值。该种离散格式用于求解一维无内源贡献的一维对流扩散问题。在那时，三阶迎风型离散格式为：the potential value equals the squared sum of the west and east potentials plus 14 multiplied by the difference between the west and east potentials. 类似地，当三阶迎风型离散格式被采用时：φ_P equals the sum of (phi_W plus phi_E) squared and the product of 14 and (phi_E minus phi_W).通过将两种流动方向的离散方程（F.9）和（F.10）结合在一起，最终能获得统一的一维对流扩散方程三阶迎风型的离散格式。$φ_P$ 被定义为 $ (|u|(φ_W - φ_E) \cdot u )^{14} + (\varphi_{W}+\varphi_{E})^2 $。其中一项关键的技术参数是...The magnitude of u is equal to the square of the sum of u_W and u_E.基于二阶迎风差分方法的基础上，通过引入三项式系数和高阶差分技术，可以得到带有源项的二维对流扩散方程三阶迎风型离散格式的具体表达式为：φ_P等于平方和形式加上权重因子乘以模长与差分项的点积再加上S_P在公式中，S_P 代表原始项目。