《最优化方法及其应用》课后习题答案（郭科、陈聆、魏友华）

简介：
本书为《最优化方法及其应用》课程的配套教材，提供了详尽的课后习题解答，帮助学生深入理解和掌握最优化理论与实践技能。由经验丰富的教授团队编写，适用于运筹学和数学专业的学习者及研究者。 最优化方法是一种数学理论与计算技术，用于找到一组条件下的最优解，在给定约束条件下使目标函数取得最大值或最小值。《最优化方法及其应用》一书由郭科撰写，提供了一套关于最优化问题及解决策略的知识体系，适用于数学类专业学生的教材，并对工科研究生、数学建模竞赛选手和工程技术人员具有参考价值。 书中涵盖了多个核心概念，如图解法、梯度、Hessian矩阵以及凸函数的判定。下面将详细阐述这些知识点： 图解法是一种直观的方法，通常用于解决低维度最优化问题。通过在坐标系中绘制目标函数图像及约束条件可行域，可以直观地找到最优解。例如，在一个例子中首先确定了无约束下的最优点为x=(3,4)，最小值为0；加入约束后，可行域由边界构成的区域决定，此时最优解位于该区域内使目标函数值最小的位置。 梯度是一个向量，包含每个变量对目标函数偏导数的信息，并指向增长最快的方向。书中给出了如何计算一般二次函数的梯度的方法——分别求出各变量的偏导数。在最优化问题中，寻找局部极小点时需要找到梯度为零的地方作为候选解。 Hessian矩阵由二阶偏导数组成，在判定目标函数凹凸性方面非常有用：如果该矩阵正定，则对应的函数是凸的；反之则是凹函数。书中通过计算并分析特征值来判断一个给定函数是否具有特定性质，例如当它的Hessian矩阵为正定时，表明这个点既不是局部极大也不是极小。 对于定义域内任意两点连线上的所有点来说，如果该连线上每一点对应的函数值都大于或等于这两端的平均值，则称此函数是凸的；反之则称为凹。在数学建模和工程问题中解决这类问题是至关重要的，因为它们可以确保全局最优解的存在性。书中通过多个实例展示了如何利用梯度与Hessian矩阵来判断特定情况下的凸性和凹性。 此外，《最优化方法及其应用》还提供了一个关于设计矩形无盖油箱的案例分析，在给定外部总面积的情况下求解能最大化容量的设计方案，这类问题在工程领域非常常见。通过建立数学模型可以将其归类为三维空间中的最优化任务并加以解决。 总之，掌握图解法、梯度计算与分析以及Hessian矩阵的应用和凸函数判定等知识不仅有助于理论研究也对实际工程项目有重要影响。阅读《最优化方法及其应用》及相关练习题解答能够加深理解并提高这些概念的实际运用能力。