中国科学技术大学软件学院概率论与数理统计试题回顾

简介：
本资料为中国科学技术大学软件学院历年的概率论与数理统计考试真题集锦，旨在帮助学生深入理解课程核心内容，掌握解题技巧，提高应试能力。 ### 中科大软院概率论与数理统计试题解析 #### 题目一：编程成功率分析 **题目概述:** 假设一个程序员编写程序的成功概率为 \( p \)。 1. **均值与方差计算** - 第一次成功的均值（期望值）: 这是一个几何分布的问题。在几何分布中，第一次成功所需的试验次数的期望值等于 \( \frac{1}{p} \)。因此，对于编写程序来说，第一次成功的均值为 \( E(X) = \frac{1}{p} \)。 - 第一次成功的方差: 几何分布的方差公式为 \( Var(X) = \frac{1-p}{p^2} \)，所以第一次成功的方差为 \( Var(X) = \frac{1-p}{p^2} \)。 2. **多个程序员合作时的最大编写次数分布** - 假设甲、乙、丙三个程序员独立地编写程序，各自的成功概率分别为 \( p_1, p_2, p_3 \)。我们需要找到他们一起编写时最大编写次数所服从的分布。 - 这个问题可以转化为三个独立随机变量的最大值分布问题。设每个程序员完成任务所需要的次数分别为 \( X_1, X_2, X_3 \)，且它们分别服从参数为 \( p_i \) 的几何分布。 - 最大编写次数可以表示为 \( Y = \max\{X_1, X_2, X_3\} \)。\( Y \) 服从极值分布，但在这里更简单的做法是利用随机变量的独立性来直接处理。 - 对于 \( Y = k \)，即最大次数为 \( k \) 的情况，意味着至少有一个程序员在第 \( k \) 次编写成功而其他程序员在前 \( k-1 \) 次均未成功。因此，\( P(Y=k) \) 可以通过计算所有可能的组合来求解，即 \( P(Y=k) = 1 - (1-p_1)^k(1-p_2)^k(1-p_3)^k \)。 #### 题目五：马尔科夫链分析 **题目概述:** 在一个医院里有两个病人可以在候诊室等待。候诊室亮绿灯的概率为 \( p \)，表示病人可以进入医务室。需要画出马尔科夫链，并确定哪些状态是常返类状态，同时计算等候室或医务室无人的概率。 1. **马尔科夫链构建** - 定义状态空间：设 \( S = \{(i,j) | i=0, 1, 2; j=0, 1\} \)，其中 \( i \) 表示候诊室的人数，\( j \) 表示医务室的人数。 - 构建转移矩阵：基于题目条件可以构建出相应的转移矩阵。例如，当候诊室有两人时，若绿灯亮，则转移到状态 \( (0,2) \) 的概率为 \( p \)，否则停留在当前状态的概率为 \( 1-p \)。 2. **常返类状态识别** - 常返类状态是指在无限时间内一定会回到该状态的状态集合。在这个例子中，所有状态都是常返类的，因为病人总会离开医务室从而使得系统有机会回到任何初始状态。 3. **概率计算** - 候诊室无人的概率为 \( P((0,j)) \)，其中 \( j=0, 1 \)。 - 医务室无人的概率为 \( P((i,0)) \)，其中 \( i=0, 1, 2 \)。这两个概率可以通过稳定分布来计算，即求解 \( \pi P = \pi \) 中的 \( \pi \)，其中 \( \pi \) 是稳定分布向量，\( P \) 是转移矩阵。 #### 题目七：正态分布的均值与样本方差 **题目概述:** 给定一个随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，已知其均值和样本方差，求 \( \mu \) 的置信区间。 1. **均值和样本方差给出的信息** - 已知 \( X \) 的均值为 \( \bar{x} \)，样本方差为 \( s^2 \)。 - 要求 \( \mu \) 的置信区间，首先需要知道样本大小 \( n \) 以及标准误 \( SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \)。 2. **置信区间的计算** - 当样本容量足够