PLS算法模型及MATLAB中的实现函数
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简介：
本文章介绍了PLS（偏最小二乘法）算法的基本原理及其在多变量数据分析中的应用，并详细讲解了如何使用MATLAB软件实现PLS算法。通过实例代码和解释，帮助读者理解和掌握PLS算法的模型构建及编程实践技巧。适合数据科学家、统计学研究人员以及相关领域的学习者参考。
### MATLAB 中的 PLS 算法模型与函数详解
#### 一、偏最小二乘回归 (PLS) 简介
偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression, PLS）是一种用于建模多变量数据集的有效方法，特别是在预测变量之间存在高度共线性的情况下更为有效。在化学计量学、生物统计学和许多其他领域都有广泛的应用。MATLAB提供了多种工具来实现PLS算法，其中一个关键函数是`plsregress`。
#### 二、数学模型
在 MATLAB 中，PLS 回归的核心数学模型基于以下公式：
1. **得分与载荷向量**:
- 得分（Scores）和载荷向量（Loadings）是 PLS 分析的关键组成部分。它们之间的关系定义为：
\[
XL = X * XS
\]
\[
YL = Y * XS
\]
其中，\(XS = X0 * W\) ，而 \(W\) 与 \(X * Y0\) 的奇异值分解有关。
- \(XL\) 和 \(YL\) 分别表示 \(X0\) 和 \(Y0\) 在 \(XS\) 上的回归系数。
2. **迭代过程**:
- 接下来，通过正交化每列\(XS\), 使得每一列与相应的YS 成为下三角矩阵。这一步骤中，\(XS * XL\)和\(XS * YL\)分别接近于初始数据 \(X0\) 和 \(Y0\):
\[
X0 = XS * XL
\]
\[
Y0 = XS * YL
\]
3. **回归系数**:
- 为了建立 \(Y0\) 与 \(X0\) 的关系，我们引入了\(YS = X0 * C\)的概念, 其中C表示在YS上的投影。
- 经过进一步推导可以得到：
\[
YS = XS * XL * C
\]
\[
XS = YS *(XL*C)^{-1}
\]
\[
Y0 = YS *(XL*C)^{-1}YL = X0C(XL*C)^{-1}*YL
\]
定义 \(B=C (XL * C) ^ {-1} * YL\) ，从而得到：
\[
Y0= X0 B
\]
这样就建立了组分值与光谱数据之间的关系。
#### 三、算法实现
从数学模型可以看出，PLS 回归的目标是通过光谱数据和组分数据的分解来建立二者之间的联系。在 MATLAB 中，这一过程由 `plsregress` 函数完成，并采用 SIMPLS 算法进行计算。具体步骤包括：
1. **中心化处理**:
- 函数会将输入的数据 \(X\) 和 \(Y\) 进行中心化得到 \(X0\) 和 \(Y0\).
2. **分解过程**:
- 在每个新载荷向量的计算过程中，从原始数据中移除该载荷的影响，并更新数据矩阵以计算下一个载荷。
3. **回归结果**:
- 函数输出包括光谱数据的载荷（\(XL\)）、得分 \(XS\)、组分数据的载荷（YL）和得分YS, 回归系数 BETA，方差解释百分比 PCTVAR 和平均平方误差估计 MSE 以及包含其他相关信息的数据结构体 stats。
#### 四、相关参数说明
- **X 和 Y**:
- X 是 \(n \times p\) 维度的矩阵，代表光谱数据；
- Y 是 \(n \times m\) 维度的矩阵，表示组分数据。
- **MSE**:
MSE 矩阵为 \(2 \times (ncomp+1)\) ，其中每个元素对应于零到 ncomp 主成分估计 PLS 模型时的平均平方误差。
#### 五、总结
MATLAB 中的 `plsregress` 函数提供了一个高效且功能强大的工具来实现偏最小二乘回归。通过理解上述数学模型和算法过程，用户可以更好地利用这一工具解决复杂的数据分析问题。无论是科学研究还是工业应用，掌握 MATLAB 中的 PLS 回归都是非常重要的技能。
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