2003年全国数学建模竞赛甲组“高教杯”论文

简介：
该文档为2003年全国大学生数学建模竞赛中甲组参赛队伍关于高教杯比赛项目的论文。文中详细阐述了对于给定问题的数学模型建立、求解过程及结果分析，展示了参赛者运用数学工具解决实际问题的能力和创新思维。 ### SARS传播的数学原理及预测与控制 #### 一、背景介绍 2003年的SARS（非典型肺炎）疫情对中国乃至全球都产生了重大影响。为了更好地理解和预测SARS疫情的发展趋势，并提出有效的控制策略，一篇题为《SARS传播的数学原理及预测与控制》的研究论文被发表于《工程数学学报》。该论文建立了一种基于负反馈机制的时间序列模型，并将其应用于北京、广州、山西和香港等地的数据分析中。 #### 二、模型构建与分析 ##### 1. 模型的基本假设与符号说明 - **基本假设**： - 统计数据是可靠的。 - 病人在潜伏期内不传染他人。 - 所有采取的控制措施对于阻止SARS病毒传播都是有效的。 - **符号说明**： - ( I )：截至第( n )天累计确诊病例数。 - ( D )：截至第( n )天累计死亡病例数。 - ( S )：第( n )天的疑似病例数。 - ( C )：截至第( n )天累计治愈病例数。 - ( d )：死亡率。 - ( b )：治愈率。 - ( S_1 )：新增病例与新增疑似病例的比例。 - ( phi )：疑似病例转化为健康人的比例。 - ( K )：区域内的人口数量。 ##### 2. 负反馈系统的建立 - **模型原理**： 社会的反应往往是一个渐变的过程，会随着疫情的变化而变化。例如，当疫情严重时，人们会自觉减少与他人的接触；相反，在疫情不明显时，人们可能会放松警惕，增加社交活动。这种现象可以被视为一种负反馈机制。 - **模型构建**： 建立一个负反馈系统来模拟疫情的发展和控制措施的效果。 - **系统组成部分**： - ( O_A )：开环增益，表示病毒在没有控制措施下的自然传播速度，即病毒的基本传播率。 - ( K )：反馈系数，表示各种控制措施对传播速度的抑制作用。 - 输入信号( X_i )：当前SARS的传播情况。 - 输出信号( X_o )：一段时间后SARS的传播情况。 - 反馈信号( X_f )：根据当前传播情况调整后的信号。 - **数学表达**： ( X_o = O_A cdot X_i ) ( X_f = K cdot X_o ) ( X_{text{out}} = X_i + X_f ) - **闭环增益**： 定义闭环增益( A_c )为病毒的实际传播率。 引入反馈深度( F )，表示对调节元件灵敏度的折中。 #### 三、模型应用与结果分析 ##### 1. 应用范围 该模型被应用于北京、广州、山西和香港四个地区的数据分析中，结果显示模型能够较好地预测SARS疫情的发展趋势，并为制定控制措施提供科学依据。 ##### 2. 控制措施的影响分析 - **不同控制措施的影响**： - 通过模拟不同日期提前或滞后实施隔离政策对SARS发展趋势的影响，分析得出控制措施实施的时机对疫情控制至关重要。 - **经济影响分析**： - 构造了医疗板块指数来衡量医疗行业的经济表现。 - 在传统的资本资产定价模型(CAPM)中引入虚拟变量，利用最小二乘法(OLS)技术进行估计分析，检验出SARS事件对医疗行业的影响为正向影响。 - 这种影响主要体现在医疗板块指数的日收益率上，但随着疫情的结束，这种影响也会逐渐消失。 #### 四、结论 该论文通过建立一种基于负反馈机制的时间序列模型，成功地预测了SARS疫情的发展趋势，并提出了有效的控制策略。此外，通过对医疗行业的经济影响分析，进一步揭示了SARS疫情对经济的影响机制。这些研究成果不仅为当时的疫情防控提供了重要的理论支持，也为未来类似疫情的防控提供了宝贵的参考经验。