本文探讨了利用平面波展开法分析声学黑洞结构中梁弯曲波的频散特性及波带隙现象，为相关领域提供理论依据。
声学黑洞（Acoustic Black Hole, ABH）是一种新型的高效波被动控制结构，通过幂律裁剪截面来抑制结构弯曲波传播，并实现减振降噪效果。研究周期性声学黑洞梁中的弯曲波带隙特性是当前该领域的一个热点问题。
平面波展开法作为一种计算方法，在声子晶体中广泛应用并用于求解其带隙特征。这种方法通过将各种参数在倒格矢空间以傅里叶级数形式表示，并将其代入波动方程来获得特征方程，具有广泛适用性和高效性特点。本段落基于此理论推导了周期性声学黑洞梁的基本结构参数的平面波展开形式并给出了计算弯曲波带隙所需的特征方程。
研究内容包括：
1. 声学黑洞梁模型及原理：该结构由原胞和其周期延拓组成，截面高度遵循二次抛物线变化规律。
2. 弯曲振动方程式：变截面欧拉梁的自由弯曲振动可表示为
\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[E(x)I(x)\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} \right]+\rho(x)S(x)\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}=0，\]
其中 \(E(x), I(x), \rho (x)， S (x)\) 分别代表梁的弹性模量、截面惯性矩、密度和横截面积。
3. 平面波展开法计算：对于周期性的声学黑洞梁结构，弯曲振动满足Bloch定理。其中位移函数 \(y(x,t)=u_k(x)e^{i(kx-\omega t)}\) 通过傅里叶级数表示为
\[ u_k (x) = \sum_{G_1} U_{G_1}e^{i G_1 x}\]，这里 k 是限制在第一简约布里渊区的波矢。
本段落的研究成果提供了周期性声学黑洞梁中弯曲波带隙特性的理论基础。这对设计和应用此类结构具有重要的指导意义，并为未来进一步探索其减振降噪功能及其他潜在应用奠定了坚实的基础。
5星
