2.6 消元法等于因式分解：A = LU

简介：
本节介绍线性代数中消元法与矩阵LU分解的关系，揭示如何通过行变换将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积。 学生们常常抱怨数学课太理论化了。然而本节课则完全不同——它几乎完全是实践性的内容。我们的目标是以一种最为实用的方式去阐述高斯消元法的应用。当你深入观察后，会发现许多关键的线性代数概念实际上都是通过矩阵分解来实现的：原始矩阵A可以被转化为两个或三个特定矩阵相乘的形式。 首先介绍的第一个也是在实际应用中最重要的因式分解就是由消元过程产生的形式——即 A = LU 的分解。这里，因子L和U分别是下三角形与上三角形的特殊类型矩阵。我们已经熟悉了其中的 U 矩阵：它是一个主对角线上有主元素且其余部分为零的上三角矩阵。 当通过消元法将A变为U时，在此过程中产生的乘数 lij（即在执行行i减去行j倍数的操作中使用的系数）会形成另一个下三角形矩阵L。从一个2×2的例子来看，给定矩阵 A 包含元素 2,1,6,8 。我们的目标是消除掉数字6。 具体步骤为：用第二行减去三倍的第一行（即乘数 l21 = 3 的E21操作）。为了由U反推回A，则需要通过L=E−121来实现，这里的逆矩阵代表了将加法运算从-3变回到+3的过程。这便是如何利用下三角形的L矩阵完成消元步骤的逆转，并最终恢复原始矩阵A的过程。