Schmid正交化在Matlab中的实现 - aPCE：任意多项式混沌展开的Matlab代码。

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简介：
Schmid特变量化Matlab代码用于实现任意多项式混沌展开（aPCE），如图所示。作者及合作者详细阐述了我们所研究的，基于多项式混沌扩展（PCE）辅助的数据驱动代理建模方法，并将其应用于工程领域中对关键性能指标（QoI）的预测。由于其在处理复杂问题中不确定性方面的卓越准确性和效率，PCE已得到广泛的应用和认可。然而，系统内随机变量信息的不确定性会对其应用产生限制。例如，当随机变量的参数形式并非最佳时，PCE的应用效果可能大打折扣。此外，PCE通常需要从原始变量到自变量进行概率转换，而这种转换过程可能呈现非线性特征，从而导致对所需关键性能指标的计算结果出现偏差。为了克服这些局限性，我们摒弃了参数多项式族的方法，而是利用潜在随机变量的原始矩值来构建一种基于PCE的替代模型，进而精确地预测关键性能指标。我们在一系列具有代表性的数值示例中验证了该方法的有效性，其中包括对复杂振动现象导致的海洋结构累积疲劳损伤进行预测的研究。相关成果已发表在Lim, H. 和 Manuel, L. 的会议论文中：“用于高效结构可靠性分析的无分布多项式混沌扩展代理模型”，加利福尼亚州帕萨迪纳工程力学研究所会议，2019年6月18日至21日。此外，该研究成果也以演示文稿的形式呈现。[Lim, H. 和 Manuel, L.]

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Schmidt正交化与aPCE-Matlab代码：用于任意多项式混沌展开

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本Matlab代码实现基于Schmidt正交化的任意多项式混沌展开(aPCE)，适用于不确定性量化和敏感性分析，提供高效计算随机模型输出统计量的方法。我们研究了由多项式混沌扩展（PCE）辅助的数据驱动代理建模，并将其应用于工程问题中的感兴趣量(QoI)预测。由于在处理复杂系统不确定性方面的准确性和效率，PCE已经得到了广泛应用。然而，在实际应用中，随机变量的不可靠信息会限制其使用效果。例如，已知参数形式可能不是最佳选择用于构建PCE模型的情况时有发生。此外，从原始变量到自变量的概率转换可能是非线性的，并可能导致预测QoI出现计算误差。为解决这些问题，我们不依赖于特定类型的多项式族，而是利用潜在随机变量的原始矩来开发基于PCE的新代理模型，并用以准确地预测所需的感兴趣量（QoI）。我们在多种数值示例中验证了这种方法的有效性，包括对海上结构因复杂振动现象引起的累积疲劳损伤进行精确预测。相关出版物: Lim, H. 和 Manuel, L., 用于高效结构可靠性分析的无分布多项式混沌扩展代理模型, 工程力学研究所会议，加利福尼亚州帕萨迪纳，2019年6月18日至21日。

多项式混沌展开（PCE）的系数：这个简单的 MATLAB 代码...

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这段简洁的MATLAB代码用于计算多项式混沌展开(PCE)中的系数，适用于不确定性量化和随机建模。 Polynomial Chaos Expansion (PCE) 或多项式混沌展开是一种在工程、科学及金融领域广泛运用的概率分析技术。它通过建立一个多元的多项式模型来近似不确定性输入变量的随机响应，使复杂的非线性系统简化为一组线性的随机问题。本例中使用的Matlab代码用于计算对数正态分布不确定参数 X 的 PCE 系数。对数正态分布是一种概率分布，其特点是数据取值为正值且呈对数正态特征的随机变量服从该分布。这种分布在描述股票价格、人口增长率等实际问题时非常有用。它由两个参数 μ（均值）和 σ（标准差）定义，记作 LN(μ, σ)。在计算PCE系数的过程中，n阶系数ai_a扮演着关键角色。对于对数正态分布的参数X，其n阶系数可以通过以下公式得出： \[ a_i = \sigma^n \cdot e^{\mu + n\sigma^2 / 2} / (n!) \] 这里的σ^n是标准差的n次方，e^(μ + σ²*n/2)是对数正态分布密度函数中的指数部分，1/(n!)作为归一化因子确保了多项式的正交性。PCE系数通常需要求解特定积分问题，这可以通过Matlab的符号运算功能来实现。文件LnHermite.m.zip中可能包含了一个名为LnHermite.m的Matlab脚本，该脚本实现了上述计算逻辑。在PCE分析中，Hermite多项式常被用作正交基函数之一，在处理高斯分布不确定性变量时尤为适用。然而，在对数正态分布的情况下，则可能使用了变体或适应性的Hermite多项式。作为强大的数值和符号运算工具，Matlab非常适合进行此类数学建模与分析工作。通过内置的符号运算库，可以有效地执行复杂的积分计算以获得精确的PCE系数。用户可以通过输入对数正态分布参数 μ 和 σ 以及多项式的阶数 N 来运行此脚本，并获取相应的 PCE 系数。这个Matlab代码为具有对数正态分布不确定性的参数进行PCE分析提供了实用工具，有助于理解和预测依赖于随机输入的复杂系统的性能。通过深入理解该代码，工程师和科学家们能够更有效地处理不确定性问题、优化设计决策并降低风险。

Matlab中的混沌函数代码-OpenPC：一个开源的多元素广义多项式混沌工具箱

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OpenPC是Matlab环境下一个开源的多元素广义多项式混沌工具箱，专为研究和应用混沌理论而设计，提供丰富的混沌函数代码库。混沌函数的MATLAB代码可以用于模拟各种复杂的动态系统行为。这种类型的代码通常会利用数学公式来生成非线性的、不可预测的时间序列数据。编写此类代码需要对混沌理论有一定的理解，包括如何选择合适的参数以确保系统的动力学特性符合预期。在实现过程中，可能会涉及到如洛伦兹吸引子或Chua电路等经典的混沌系统模型的仿真。这些模型不仅有助于科学研究中的数学建模和分析工作，而且还可以应用于加密、信号处理等多个工程领域中去探索潜在的应用价值。

PCE_Example.zip_3GM_PCE示例_复杂混沌_多项式扩展_混沌多项式

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本文件为PCE（多项式混沌展开）示例程序，专注于处理复杂混沌系统的建模与分析。通过使用多项式扩展技术，该示例展示了如何有效地模拟和预测混沌现象的行为模式。用于混沌多项式扩展的代码包含多个例子，其中一些较为复杂。这些示例深入浅出地介绍了相关概念和技术细节。

MATLAB中的正交多项式拟合

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本简介探讨如何在MATLAB中利用内置函数进行正交多项式拟合，涵盖从数据准备到结果分析的全过程，适用于科研与工程领域的数据分析需求。正交多项式拟合次数为m，默认使用拉盖尔多项式。

混沌理论与元启发式：适用于任意元启发式的10种混沌映射-MATLAB开发

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本项目探讨了混沌理论在元启发式算法中的应用，提供了十种不同的混沌映射，并使用MATLAB进行实现和测试。旨在提高优化算法的性能和多样性。当您需要在元启发式算法中生成[0 1]范围内的随机数时，可以考虑使用以下混沌映射：切比雪夫地图、圆形地图、高斯/鼠标图迭代映射、物流地图、分段图正弦图、歌手地图和帐篷地图。有关这些方法的详细信息，请参阅S. Saremi, S. Mirjalili 和 A.Lewis 的《基于生物地理学的混沌优化》论文，该文发表于《神经计算与应用》，Springer 出版社，2014年。

MATLAB中的混沌加密实现

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本研究探讨了在MATLAB环境下实现混沌加密的方法和技术，分析其安全性与效率，并展示了混沌系统在信息加密领域的应用潜力。混沌加密的MATLAB实现提供了一个可以直接使用的代码文件。该文件名为MATLAB.M，并包含了完整的混沌加密算法实现。

OPoly：正交多项式类别- MATLAB开发

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OPoly是一款用于MATLAB环境下的工具箱，专注于各种正交多项式的计算与分析。它为用户提供了一个便捷的平台来生成、操作和研究如勒让德、切比雪夫等各类经典正交多项式，助力科学研究及工程应用中的数学问题求解。 `Opolys` 类实现了可变正交多项式。这些多项式包括：雅可比、勒让德、切比雪夫、拉盖尔和埃尔米特。此外，该类还计算多项式的零点以及高斯正交的权重和节点。

利用MATLAB实现离散化正交多项式算法在实验模态分析中的应用

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本研究探讨了基于MATLAB平台的离散化正交多项式算法在实验模态分析中的具体应用，通过优化计算方法提高数据处理精度与效率。本段落阐述了离散正交多项式算法的理论基础，并通过Matlab编程实现了该算法。实验过程中采集信号数据，利用所实现的算法进行分析，并与MEscopeVES的结果对比，以此验证算法的有效性和准确性。文中关键词包括：正交多项式、实验模态分析、Matlab和频响函数。

多项式混沌展开：利用该方法对若干一维概率分布进行逼近的MATLAB实现

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本研究通过MATLAB实现了多项式混沌展开技术，用于逼近多个一维概率分布，为不确定性量化提供了一种高效算法。主文件“PC_examples_1D.m”包含使用多项式混沌（PC）扩展来近似几个概率分布的基本示例。该方法的核心在于正交多项式的计算以及 PC 系数的估计：一、提供了 N 维 Hermite、Charlier 和 Jacobi 多项式的计算函数；可以轻松地将其扩展到其他类型的正交多项式。二、PC 系数是通过投影法和高斯-赫米特积分来估算的，目前该步骤仅针对 1D 赫尔梅特多项式编程实现。因此，需要进一步将此方法扩展至其他类型的正交多项式。使用回归方法估计 PC 系数可以解决这一问题（希望它会在未来版本中得到包含）。