（解析）《随机过程》第一章练习题1

简介：
本简介提供《随机过程》第一章练习题的答案与详细解析，帮助读者深入理解随机过程的基本概念和理论。 在随机过程的学习过程中，我们常常会遇到多种类型的问题，比如计算概率分布、证明随机变量的独立性等。本题将探讨几个关于随机变量与随机过程的基础问题。 首先来看第一个问题：题目中提到的是一个参数为1的指数分布下的随机变量X（即\(f_X(x) = e^{-x}\mathbb{1}_{(0,\infty)}(x)\)，其中\(\mathbb{1}_{(0,\infty)}\)是指示函数），以及与之独立但未知其具体分布形式的另一个随机变量Y。我们需要求解的是当\(Z=Y^2\)时，这个新随机变量的概率密度函数。通过转换为新的随机变量U和V（其中\(U=X^2, V=Y^2\)）来推导概率密度，并利用这两个独立的变换结果得出Z的概率分布形式。最后得到的结果是：\(f_Z(z) = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{1}{z}}\mathbb{1}_{(0,\infty)}(z)\)。 第二个问题是关于两个相互独立且同为参数λ>0的指数分布下的随机变量X₁和X₂，我们需要证明它们之和U=X₁+X₂同样遵循一个以λ作为参数的指数分布。通过计算U的概率密度函数，并与原始随机变量进行比较后发现两者一致，从而得出结论：即U也符合该条件。 第三个问题涉及的是两个独立的标准正态分布下的随机向量(Y, X)的分量Y和X。我们需要分别写出\(Y+X\) 和 \(Y-X\) 的概率密度函数，并判断这两个新的变量是否相互独立。基于标准正态分布的特点，可以推断出\(Y+X\)与\(Y-X\)均遵循相同的分布形式（即它们都是标准正态分布）。进一步通过计算协方差矩阵来确认二者之间没有相关性，从而证明了这两者是独立的。 最后一个问题是关于给定联合概率密度函数下的二维随机变量(X,Y)，要求求出边缘概率密度、条件概率密度，并分析当Y处于特定区间内时X与Y之间的关系。可以通过对联合分布进行积分得到边缘分布和通过条件概率公式计算得出条件分布，从而进一步解析在限定条件下两者的关系。 这些问题展示了不同随机变量间的关系及其变换特性，这些都是理解随机过程理论的基础概念。解决这些问题有助于我们更好地掌握并应用相关的数学知识。