运筹学第一章：线性规划与单纯形法.pdf
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简介：
本PDF文档为《运筹学》第一章“线性规划与单纯形法”，详细介绍了线性规划的基本概念、数学模型及其求解方法——单纯形法，适合初学者和相关专业人员参考学习。
运筹学第一章涵盖了线性规划及单纯形法的概述与应用技巧。
线性规划问题由三个主要元素构成：决策变量、目标函数以及约束条件。当这些要素满足特定规则，例如决策变量连续且目标函数为线性的条件下，这类数学模型即被定义为“线性规划”。
标准形式下的线性规划可以表示如下：
最大化或最小化 z = CX
受限于 AX ≤ (或者等于, 大于) b,
X ≥ 0
其中矩阵A和向量b分别代表约束条件的系数与限制值，而C则对应目标函数的权重。
从一般模型转换至标准形式的方法包括：
- 当求解极小化问题时，可以将其转化为最大化-z的形式。
- 若某条不等式的右侧为负数，则整个式子可乘以-1来调整方向。
- 对于小于或等于的情况，在左侧添加一个非负的松弛变量使之成为等号。相反地，对于大于或等于的情形则引入剩余变量。
线性规划问题可以通过图形方法直观求解，并且根据此过程可以得出以下结论：
- 该类问题可能拥有唯一最优、无穷多最佳选择、无界或者不可行的结果。
- 可行域通常是一个凸集（即，任意两点间连线上的所有点都在集合内）。
- 在存在可行解的情况下，最优化结果必然位于可行区域的某个顶点上。
单纯形法的基本原理在于通过逐步迭代寻找最优解。具体步骤如下：
- 一个线性规划问题中的基是系数矩阵A中的一组满秩子阵B；
- 基解是指将非基变量设为零，然后求出唯一一组满足约束条件的值；
- 可行解指的是同时符合所有给定限制条件的方案组合。
此外还有一些重要的理论基础：
- 若线性规划问题存在可行区域，则其构成一个凸集。
- 一种特定类型的点（即顶点）在寻找最优解决方案时扮演关键角色。
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