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北京大学高等代数课程教学方案

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简介：
《北京大学高等代数课程教学方案》是一份针对高校数学专业设计的教学指导文件，涵盖了高等代数的核心内容、教学目标和方法，旨在培养学生的抽象思维能力和数学素养。 ### 北大高等代数授课教案知识点概览 #### 第一学期第一次课 ##### 第一章：代数学的经典课题 **1.1.1 代数系统的概念** - **定义**：一个集合如果在其内部定义了一种或多种代数运算，并且这些运算遵循特定的规则，则该集合被视为一个代数系统。 **1.1.2 数域的定义** - **定义**：数域是由某些复数组成的集合，满足以下条件： - 至少包含两个不同的复数； - 对于所有\( a, b \in K \)，\(a + b\), \(a - b\), 和 \(ab\)（当 \(b \neq 0\)时）均属于\(K\)。 **例1.1 典型的数域举例** - 复数域； - 实数域； - 有理数域； - Gauss数域，即形如\(a + bi\ (a, b \in Q)\)的集合，其中 \(i = \sqrt{-1}\)。 **命题**：任意数域都包含有理数域。 - **证明**：假设K为任意数域，根据定义存在非零元素\( a \in K\)，则\( a^{-1} \in K\)。进一步地对于所有的整数 \(m > 0\), 存在 \(\frac{1}{m} \in K\)。由此可以推导出\(\frac{n}{m}\) 对于所有正整数n, m 都属于K，从而证明有理数域Q是任意数域的子集。 **1.1.3 集合的运算与映射** - **定义**：集合A和B的交集由同时属于A和B的所有元素组成；并集由至少属于A或B中的一个所有元素组成；差集则是仅在A中但不在B中的所有元素。 - **集合的映射**：给定两个集合 A 和 B，如果对于每个 \(a \in A\) 存在一个唯一确定的\(b \in B\) 与其对应，则称这个法则为从A到B的一个映射。 - 若对所有的 \( a, a \in A\), 当且仅当 \(a \neq a\) 则有 \(f(a) \neq f(a)\)，则\(f\)被称为单射。 - 如果对于所有\( b \in B\) 存在一个\(a \in A\) 使得 \(f(a)=b\) ，那么称映射为满射。 - 若一个函数既是单射又是满射，则称为双射或一一对应。 **1.1.4 求和号与求积号** - **定义**：对于数域上的n个元素\(a_1, a_2, \ldots , a_n\)，使用求和符号\(\sum_{i=1}^{n} a_i\) 和乘积符号\(\prod_{i=1}^{n} a_i\) 来表示。 - **性质**：求和号具有以下基本性质： - \( \lambda \cdot \sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_i \)； - \( \sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i +\sum_{i=1}^{n}b_i\)； - 对于所有\(j, i\)，有\(\sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{m}{a}_{ij}\right) =\sum_{j=1}^{m}( \sum_{i=1}^{n}{a}_{ij})\)。 #### 第一学期第二次课 ##### §2 一元高次代数方程的基础知识 **1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题** - **高等代数基本定理**：设\(K\)为任意的数域，以 \(x\)为变元的一元多项式集合表示为\( K[x]\)。对于任何非零多项式\(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0 \ (其中\ a_n \neq 0)\)，存在复数 \(c\)使得 \(f(c) = 0\)。这意味着每个一元多项式至少有一个复数根。 - **等价命题**：一个多项式没有重根当且仅当该多项式与其导数互素。 以上内容涵盖了北京大学高等代数课程中的基础知识点，

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  • 北京大学高等代数课程教学方案
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    《北京大学高等代数课程教学方案》是一份针对高校数学专业设计的教学指导文件，涵盖了高等代数的核心内容、教学目标和方法，旨在培养学生的抽象思维能力和数学素养。 ### 北大高等代数授课教案知识点概览 #### 第一学期第一次课 ##### 第一章：代数学的经典课题 **1.1.1 代数系统的概念** - **定义**：一个集合如果在其内部定义了一种或多种代数运算，并且这些运算遵循特定的规则，则该集合被视为一个代数系统。 **1.1.2 数域的定义** - **定义**：数域是由某些复数组成的集合，满足以下条件： - 至少包含两个不同的复数； - 对于所有\( a, b \in K \)，\(a + b\), \(a - b\), 和 \(ab\)（当 \(b \neq 0\)时）均属于\(K\)。 **例1.1 典型的数域举例** - 复数域； - 实数域； - 有理数域； - Gauss数域，即形如\(a + bi\ (a, b \in Q)\)的集合，其中 \(i = \sqrt{-1}\)。 **命题**：任意数域都包含有理数域。 - **证明**：假设K为任意数域，根据定义存在非零元素\( a \in K\)，则\( a^{-1} \in K\)。进一步地对于所有的整数 \(m > 0\), 存在 \(\frac{1}{m} \in K\)。由此可以推导出\(\frac{n}{m}\) 对于所有正整数n, m 都属于K，从而证明有理数域Q是任意数域的子集。 **1.1.3 集合的运算与映射** - **定义**：集合A和B的交集由同时属于A和B的所有元素组成；并集由至少属于A或B中的一个所有元素组成；差集则是仅在A中但不在B中的所有元素。 - **集合的映射**：给定两个集合 A 和 B，如果对于每个 \(a \in A\) 存在一个唯一确定的\(b \in B\) 与其对应，则称这个法则为从A到B的一个映射。 - 若对所有的 \( a, a \in A\), 当且仅当 \(a \neq a\) 则有 \(f(a) \neq f(a)\)，则\(f\)被称为单射。 - 如果对于所有\( b \in B\) 存在一个\(a \in A\) 使得 \(f(a)=b\) ，那么称映射为满射。 - 若一个函数既是单射又是满射，则称为双射或一一对应。 **1.1.4 求和号与求积号** - **定义**：对于数域上的n个元素\(a_1, a_2, \ldots , a_n\)，使用求和符号\(\sum_{i=1}^{n} a_i\) 和乘积符号\(\prod_{i=1}^{n} a_i\) 来表示。 - **性质**：求和号具有以下基本性质： - \( \lambda \cdot \sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_i \)； - \( \sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i +\sum_{i=1}^{n}b_i\)； - 对于所有\(j, i\)，有\(\sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{m}{a}_{ij}\right) =\sum_{j=1}^{m}( \sum_{i=1}^{n}{a}_{ij})\)。 #### 第一学期第二次课 ##### §2 一元高次代数方程的基础知识 **1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题** - **高等代数基本定理**：设\(K\)为任意的数域，以 \(x\)为变元的一元多项式集合表示为\( K[x]\)。对于任何非零多项式\(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0 \ (其中\ a_n \neq 0)\)，存在复数 \(c\)使得 \(f(c) = 0\)。这意味着每个一元多项式至少有一个复数根。 - **等价命题**：一个多项式没有重根当且仅当该多项式与其导数互素。 以上内容涵盖了北京大学高等代数课程中的基础知识点，
     
  • 北京大学高等代数课程教案
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    《北京大学高等代数课程教案》是一份由北京大学数学科学学院精心编写的教学资料，涵盖了高等代数的核心内容与经典例题。该教案旨在帮助学生深入理解抽象代数的基本概念和理论，并通过丰富的习题训练提升学生的解题技巧和逻辑思维能力。 ### 北大高等代数授课教案知识点概览 #### 第一学期第一次课 ##### 第一章：代数学的经典课题 **1.1.1 代数系统的概念** - **定义**：一个集合如果在其内部定义了一种或多种代数运算，并且这些运算遵循特定的规则，则该集合被视为一个代数系统。 **1.1.2 数域的定义** - **定义**：数域是由某些复数组成的集合，满足以下条件： - 该集合至少包含两个不同的复数； - 对于所有( a, b \in K )，\(a+b\), \(a-b\), 和 \(ab\)（当 \(b \neq 0\)时）都属于该集合。 **例1.1 典型的数域举例** - 复数域(\mathbb{C})； - 实数域(\mathbb{R})； - 有理数域(\mathbb{Q})； - Gauss数域（包含形如\(a + bi\) 的复数组成，其中 \(i = \sqrt{-1}\) 和 \(a, b \in \mathbb{Q}\)）。 **命题**：任意数域都包含有理数域\(\mathbb{Q}\)。 - **证明**：假设\(K\)为任一数域。根据定义，存在非零元素\(a \in K\)，则 \(a^{-1} \in K\)。进一步地，对于所有的整数\(m > 0\)有 \(\frac{1}{m} \in K\)。由此可以推导出\(\frac{n}{m} \in K\) 对于所有正整数\(n, m\)，从而证明了\(\mathbb{Q} \subseteq K\)。 **1.1.3 集合的运算与集合映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念** - **定义**：给定两个集合A和B： - \(A\) 和\(B\) 的交集由同时属于\(A\)和\(B\)的元素组成； - 并集由属于\(A\)或\(B\)的元素组成； - 差集由属于\(A\)但不属于\(B\)的元素组成。 - **集合映射**：给定两个集合 \( A \) 和 \( B \)，如果存在法则 \( f \)，使得对于每个 \( a \in A \)，都有唯一确定的 \( b \in B \) 与之对应，则称 \( f \) 是从\(A\)到\(B\)的一个映射。 - 若对所有\(a, a \in A\), \(a \neq a\)意味着\(f(a) \neq f(a)\)，则称\(f\)为单射； - 若对于所有的 \( b \in B \)，存在一个 \( a \in A \)，使得 \( f(a) = b\)，则称映射为满射。 - 如果\(f\)既是单射又是满射，则称为双射或一一对应。 **1.1.4 求和号与求积号** - **定义**：对于数域中的n个数\(a_1, a_2,..., a_n \)，可以使用求和符号\(\sum_{i=1}^{n} a_i\) 和乘积符号\(\prod_{i=1}^{n} a_i\) 来简化表示。 - **性质**：求和号具有以下性质： - \(\sum_{i=1}^{n}\lambda a_i = \lambda \sum_{i=1}^{n}a_i\)； - \(\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) =\sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i\)； - \(\sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{m} a_{ij}\right)=\sum_{j=1}^{m}\left( \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\right)\)。 #### 第一学期第二次课 ##### §2 一元高次代数方程的基础知识 **1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题** - **高等代数基本定理**：设\(K\)为一个数域，\(\mathbb{K}[x]\)表示系数在 \( K \) 上的以 \( x \) 作为变量的一元多项式的全体。对于任何非零多项式（例如 \( f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a
     
  • 北京大学数学科学学院《高等代数》课程讲义
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    本书为北京大学数学科学学院《高等代数》课程的教学资料，内容涵盖多项式、线性方程组等核心知识点，适合高等院校数学及相关专业学生使用。 北京大学数学科学学院《高等代数》讲义北京大学数学科学学院的《高等代数》讲义。 简化后：北京大学数学科学学院《高等代数》讲义。
     
  • 北京大学高等代数考研教案第三版
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    《北京大学高等代数考研教案》(第三版)是针对北大数学专业研究生入学考试编写的复习资料，系统总结了高等代数的核心知识点、解题技巧和历年真题解析。 《名师考案丛书：高等代数考研教案（第2版）》依据北京大学数学系几何与代数教研室编写的《高等代数》（第三版）的章节顺序进行编写，但为了保持内容的连贯性和相关性，对部分章节的内容进行了调整。例如，为了让读者全面了解化简二次型的方法，在第五章中集中介绍了特征值、特征向量及矩阵相似对角化的相关内容，并且在该章内还涵盖了正交矩阵以及利用正交变换将二次型转化为标准形的知识点。
     
  • 北京大学的高等代数
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    《北京大学的高等代数》是一本由北京大学数学科学学院编著的经典教材，内容涵盖线性代数与多项式理论等核心知识，适合高等院校数学及相关专业使用。 高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数 北京大学高等代数北京大学
     
  • 高等数理逻辑教案（北京邮电大学）
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    《高等数理逻辑教案》是为北京邮电大学相关课程设计的教学材料，涵盖命题逻辑、谓词逻辑及模型论等内容，适用于计算机科学与通信工程专业的高年级学生和研究人员。 逻辑是一门探讨有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创立。数理逻辑是运用数学方法研究推理与证明问题的一门学问，也被称为符号逻辑。 数理逻辑主要包括以下内容： 1. 命题逻辑系统； 2. 一阶谓词逻辑系统。 命题演算关注的是如何通过一些逻辑连接词将简单的命题组合成更复杂的命题，并探讨相应的逻辑推理方法。一个命题指的是具有明确意义且能够判断其真假的陈述句。
     
  • 北京大学高等数学课后习题答案 完整版.pdf
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    本书为《北京大学高等数学课后习题答案》完整版PDF文档，包含了课程中所有章节习题的详细解答，是学习和复习高等数学的理想辅助资料。 北大版高等数学课后习题答案完整版
     
  • 北京大学高等数学习题手写答案版本
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    本书为北京大学高等数学课程的手写版习题解答集，详细解析了高等数学中的重点与难点问题，适合高校师生及数学爱好者参考使用。 北大高数一下手写版答案非常详细，包括了从第七章开始的全部内容。
     
  • 北京大学版《高等代数》习题解答
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    本书为北京大学数学系几何与代数教研室编写的《高等代数》教材的配套辅导书，提供了详尽的习题解析，适合高等院校数学及相关专业学生使用。 高等代数经典——北大版的习题答案在网上应该是少见的。
     
  • 高等数学教学方案
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    《高等数学教学方案》是一套系统化的教育工具书，旨在帮助教师和学生掌握高等数学的核心概念与解题技巧，促进高效学习。 根据给定的“高等数学教案”内容，我们可以总结并扩展以下关键知识点： ### 一、实数及其性质 - 实数：实数集合包含了所有有理数和无理数，是数学中最基本的数集之一。 - 性质： - **有序性**：实数集合具有自然的大小顺序关系。对于任意两个实数a和b，必有a < b、a = b或a > b。 - **稠密性**：实数集合内部不存在空隙。即对于任意两个不同的实数a和b（假设 a < b），总存在另一个实数c使得 a < c < b。 - **完备性**：实数集合中的每一个有界数列都有一个极限，这个性质称为戴德金完备性。 ### 二、数集与区间的含义 - 数集：由一组实数组成的集合。 - 区间：数轴上的一段连续部分。根据端点是否包含，可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。 - **开区间**：不包含端点的区间。如 (a, b) 表示所有满足 a < x < b 的实数x组成的集合。 - **闭区间**：包含端点的区间。如 [a, b] 表示所有满足 a ≤ x ≤ b 的实数x组成的集合。 - **半开半闭区间**：只包含一个端点的区间，例如 [a, b) 或 (a, b]。 ### 三、邻域的概念、性质和几何意义 - 邻域：对于任意实数 a 而言，其邻域是指中心位于 a 且有一定宽度的区间。具体地，如果有一个正数 δ > 0 ，那么 a 的一个邻域就是形如 (a - δ, a + δ) 的区间。 - 性质： 邻域具有对称性和可调整性。通过对 δ 不同的选择，可以得到不同大小的邻域。 - 几何意义：在数轴上直观表现为围绕某个点的一个小区间。 ### 四、函数的定义 - 定义：设 A 和 B 为两个非空集合，如果存在一个规则 f ，对于 A 中每个元素 x 都能唯一确定出属于 B 的 y 值，则称 f 是从A到B的一个函数，并记作f: A → B。 - **定义域**：即所有可能输入值的集合 D(f) 。 - **值域**：是所有可能输出值的集合 R(f)。 - 对应法则 ：用于确定输入 x 的对应输出 y。 - 分段函数： 在某些情况下，一个函数的定义区域可以被分割为几个子区间，在每个子区域内该函数采用不同的表达式来定义。这种类型的函数称为分段函数。 这些知识点构成了高等数学课程的基础部分，并对于后续学习诸如极限、连续性等内容至关重要。理解和掌握这些概念对深入学习高等数学非常关键。