利用MATLAB解决非线性优化问题
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简介：
本课程专注于使用MATLAB软件解决复杂的非线性优化问题，涵盖算法原理、模型构建及应用案例分析。
非线性优化问题在科学、工程及经济等领域非常常见，并且MATLAB提供了多种函数来解决这类问题。
一、求解非线性单变量最小值
使用MATLAB的`fminbnd()`函数可以找到给定区间内的一元非线性函数的最小值。该函数的基本用法如下：
```matlab
[X,fval,exitflag,output]= fminbnd(fun,x1,x2)
```
其中，`fun`代表目标函数，而`x1`和`x2`是变量的边界限制条件；返回结果中，X表示使目标函数取得最小值时对应的自变量取值，fval则是此时的目标函数值。此外，exitflag>0表明优化过程已成功收敛到解点处，若为0则意味着达到最大迭代次数而停止计算，小于零的情况代表无法找到合适的解；output结构包含了算法执行的详细信息：iterations表示总迭代数、funcCount是目标函数被调用的次数以及algorithm用于标识所采用的具体求解方法。
例如，在区间[-2, 2]内寻找函数\( f(x) = (x^5 + x^3 + x^2 - 1)(e^{x^2} + \sin(-x)) \) 的最小值及其对应的自变量X，可以编写如下MATLAB代码：
```matlab
clear;
fun=( @(x) ((x.^5+x.^3+x.^2-1).*(exp(x.^2)+sin(-x))));
ezplot(fun,[-2, 2]);
[X,fval,exitflag,output]= fminbnd(@(x)( (x^5 + x^3 + x^2 - 1)*(exp(x^2) + sin(-x))), -2 , 2);
```
该程序执行后，将输出最小值对应的X坐标、fval（即目标函数在最优解处的取值）、exitflag以及output结构的相关信息。
二、处理无约束非线性多元优化问题
针对这类问题，MATLAB提供了`fminsearch()`和`fminunc()`两个命令进行求解：
1. 使用`fminsearch()`
```matlab
X= fminsearch(fun,X0)
[X,fval,exitflag,output]= fminsearch(fun,X0,options)
```
此处的fun代表需要最小化的目标函数，而X0是初始猜测值；返回结果中除了上述提到的信息外还包括options参数设置（默认为缺省配置）。
例如：寻找二元函数\(f(x,y) = \sin(x)+\cos(y)\) 的全局极小点及其对应的x和y坐标。程序如下：
```matlab
clear;
fun1=@(x)(sin(x(1))+cos(x(2)));
ezmesh(fun1);
[X,fval]=fminsearch(@(X)( sin(X(1)) + cos(X(2))),[0, 0]);
```
该代码执行后，将输出函数的最小值以及对应的坐标点。
2. 使用`fminunc()`
```matlab
X=fminunc(fun,X0)
[X,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,X0,options)
```
此命令用于寻找多元目标函数fun在初始猜测值X0附近的最小化解，返回结果中还包括了解点处的梯度和海森矩阵。
例如：求解二元非线性函数\( f(x,y) = (x^5 + x^3 + x^2 - 1)(e^{x^2} + \sin(-y)) \) 的最小值及其对应的坐标。程序如下：
```matlab
clear;
fun=@(X)((X(1)^5+ X(1)^3+ X(1)^2-1)*(exp(X(1)^2)+ sin(-X(2))));
[X,fval,exitflag,output]=fminunc(fun,[0; 0]);
```
该代码执行后，将输出目标函数的最小值及其对应的坐标点。
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