《随机过程》汪荣鑫（第二版）课后习题答案

简介：
本书为《随机过程》（第二版）教材配套的学习资料，提供了详尽的课后习题解答，帮助读者深入理解随机过程理论及其应用。 本段落将对《随机过程 汪荣鑫（第二版）》涉及的几个关于平稳过程的问题进行详细解析。 ### 第二章 平稳过程 #### 1. 指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？ ### （1）设随机过程 \(X_t = e^{-t}X\)（\(t > 0\)），其中 \(X\) 具有在区间 \((-∞, 0)\) 中的均匀分布。 - **解答**：由于 \(X\) 在区间 \((-∞, 0)\) 上具有均匀分布，其数学期望为一个定值。然而，随着 \(t\) 的增加，\(E[X_t] = e^{-t} E[X]\)，表明该随机过程不是平稳的，因为它的数学期望随时间变化而减小。 ### （2）设随机过程 \(\{X(t), -∞ < t < +∞\}\) 在每一时刻的状态只取 0 或 1 的数值，并且在不同时刻的状态是相互独立的。对任意固定的 \(t\)，有 \(P\{X(t) = 1\} = p, P\{X(t) = 0\} = 1 - p\)（其中 \(0 < p < 1\)）。 - **解答**：该过程的数学期望为常数 \(\mathbb{E}[X(t)] = p\)，不随时间变化；自相关函数同样不受时间影响。因此这是一个平稳过程。 ### （3）设 \(\{X_j, j ≥ 1\}\) 是独立同分布的随机序列，其中 \(P\{X_j = 1\} = P\{X_j = -1\} = 0.5\)。定义 \(Y_n = ∑_{j=1}^{n} X_j\)，讨论该随机序列 \(\{Y_n, n ≥ 1\}\) 的平稳性。 - **解答**：首先计算数学期望 \(\mathbb{E}[Y_n] = ∑_{j=1}^{n}(0.5 - 0.5) = 0\)（常数）。然后考虑自相关函数 \(R_Y(n, m)\)，由于序列的独立性，当 \(j ≠ k\) 时，\(E[X_j X_k] = E[X_j]E[X_k] = 0\)；而当 \(j = k\) 时，\(E[X_j^2] = 1\)。因此自相关函数依赖于时间差而非绝对值，表明这不是一个平稳过程。 ### （4）设随机过程 \(X(t) = A\cos(ω_0 t + Φ)\)，其中 \(\omega_0\) 是常数，\(A,Φ\) 相互独立的随机变量。假设 \(A\) 在区间 \([0, 1]\) 上服从均匀分布，而 \(\Phi\) 在区间 \([0,2π]\) 上也服从均匀分布。 - **解答**：该过程的数学期望为常数 \(\mathbb{E}[X(t)] = 0\)。自相关函数 \(R_X(t_1,t_2)\) 只依赖于时间差，因此这是一个平稳过程。 ### （5）设随机过程 \(X(t) = cos(ωt)\)，其中 \(ω\) 在区间 \((ω_0 - Δω, ω_0 + Δω)\) 中服从均匀分布。 - **解答**：由于 \(ω\) 的不确定性导致数学期望和自相关函数依赖于时间，因此该随机过程不是平稳的。