C语言源码：青蛙约会
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简介：
《青蛙约会》是一款利用C语言编写的编程挑战游戏或问题，其目的是通过解决有趣的约会场景相关算法题来提高程序员对数据结构和算法的理解与应用能力。
《青蛙约会》这一题目实际上涉及的是数学中的扩展欧几里德算法以及如何解决线性同余方程，在编程竞赛和算法设计中常见。扩展欧几里德算法用于寻找两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD），并能求解形如ax + by = GCD(a, b)的线性同余方程的整数解。
我们回顾一下欧几里德算法的基本思想，即：两个整数a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。用数学表达式表示就是GCD(a, b) = GCD(b, a % b)，通过反复应用这个定理，我们可以逐步缩小a和b的值直到b为0，此时a即为两者的最大公约数。
接下来引入扩展欧几里德算法，该算法不仅求出最大公约数还能找出使得ax + by = GCD(a, b)成立的整数解x和y。每次递归调用时更新x和y值保持性质不变。以下是一个C++实现的例子：
```cpp
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a * b * y / gcd(a,b); // 确保y的计算正确
return r;
}
```
对于《青蛙约会》的问题，我们需要解决的是不定方程a*s + b*l = c的整数解。其中s和l代表青蛙跳跃步数，a=n-m, b=k, c=x-y，目标是找到满足条件的s和l使得两只青蛙在某一步相遇。
步骤如下：
1. 计算GCD(a, b)，如果c不能被GCD(a, b)整除，则方程没有整数解。
2. 将原方程两边同时除以GCD(a, b)，得到新的方程a*s + b*l = c，其中GCD(a, b)=1。
3. 使用扩展欧几里德算法求出ax+by=1的整数解x0和y0。
4. 通过公式s=c*x0+b*t*y，l=c*y0-a*t*x，得到方程a*s + b*l = c的任意整数解。其中t是任意整数。
因此，《青蛙约会》的问题可以通过扩展欧几里德算法快速找到两只青蛙能否相遇以及相遇步数s，在编程实现时需优化避免暴力枚举导致的时间复杂度过高，确保在给定限制条件下高效得出结果。
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