数值线性代数及其应用+J.W.Demmel

简介：
《数值线性代数及其应用》是J.W.Demmel撰写的一本全面介绍数值线性代数领域的经典教材，书中结合理论与实践，深入浅出地讲解了算法设计和分析方法。 ### 应用数值线性代数关键知识点解析 #### 一、引言与基础知识 《应用数值线性代数》是由著名数学家James W. Demmel编写的经典教材，广泛应用于教育及研究领域。本书不仅涵盖了理论知识，还深入探讨了实际计算过程中可能遇到的问题及其解决方法。 在第一章的开头部分，作者简要介绍了全书中将使用的数学符号和约定规则，这些是理解后续内容的基础。随后列举了一些数值线性代数中的典型问题，并进行了初步讨论。这些问题包括求解线性方程组、最小二乘问题等。 基本技术方面： - **矩阵分解**：如LU分解、QR分解、奇异值分解等方法在解决实际计算中起到关键作用，尤其是在处理特征值和系统求解时。 - **扰动理论与条件数**：这部分内容分析了当输入数据发生微小变化时结果的变化情况，并引入了衡量问题稳定性的指标——条件数。 - **舍入误差的影响**：由于计算机的有限精度，在实际计算中不可避免地会出现舍入误差，本部分讨论这些误差如何影响算法的结果。 - **算法速度分析**：评估不同算法的时间复杂度和优化策略以提高其运行效率是十分重要的。 - **数值软件的设计与实现**：这部分内容探讨了设计高效数值线性代数软件的方法。 #### 二、线性方程组求解 第二章主要介绍了求解线性方程组的基本方法和技术，包括扰动理论的进一步讨论和高斯消元法的应用。通过主元素选择策略来避免大误差，并详细说明了条件数估计的作用以及实用误差界的提供。 此外还介绍了解精度改进的方法、高性能算法块化概念及基本线性代数子程序（BLAS）库，后者用于提高矩阵运算效率。讨论还包括如何优化矩阵乘法的执行过程和针对不同类型矩阵特点采取相应的求解方法。 #### 三、线性最小二乘问题 第三章主要介绍了线性最小二乘问题的基本概念以及解决此类问题的方法。包括通过正规方程、QR分解及奇异值分解来求解这些问题，同时分析了输入数据的微小变化对结果的影响，并探讨构造正交矩阵时所用到的技术和舍入误差。 《应用数值线性代数》全面而深入地覆盖了该领域的核心概念和技术，是学习这一领域知识的重要参考书。