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高斯超几何函数的计算：MATLAB开发

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简介：
本项目致力于在MATLAB环境下实现高斯超几何函数的高效准确计算，为科学研究和工程应用提供强大工具。 使用简单的实积分计算高斯超几何函数。

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  • 高斯超几何函数的计算：MATLAB开发
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    本项目致力于在MATLAB环境下实现高斯超几何函数的高效准确计算，为科学研究和工程应用提供强大工具。 使用简单的实积分计算高斯超几何函数。
     
  • Hypergeom: 使用 Maple 方法计算超几何函数 - MATLAB 开发
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    Hypergeom是一款基于Maple算法的MATLAB工具箱，用于高效、准确地计算各种类型的超几何函数。它为数学和科学领域的复杂问题提供了强大的解决方案。 使用高斯级数的直接求和方法来计算具有大量参数的广义超几何函数的数值结果。pFq 定义为：\[ pFq = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}\cdot\prod_{i=1}^{p}{\mathrm{pochhammer}(n[i], k)} / \prod_{j=1}^{q}{\mathrm{pochhammer}(d[j], k) } \] 其中所需精度（位数）可以作为参数指定。
     
  • Kummer微分方程的解：Confluent超几何函数-MATLAB开发
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    本项目通过MATLAB实现求解Kummer微分方程，采用Confluent超几何函数进行解析表达。适用于数学、物理及工程领域中相关问题的研究与解决。 此函数用于在指定容差内估计Kummer微分方程的解。Kummer的微分方程由下式给出：x*g(x) + (b - x)*g(x) - a*g(x) = 0。该代码执行一个while循环来计算指定容差内的广义超级数，支持以标量、行向量或列向量的形式输入变量x。
     
  • kummerln(a,b,x): 自然对数下的合流超几何函数 - MATLAB开发
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    这段MATLAB代码实现了自然对数下的合流超几何函数kummerln(a, b, x)的计算，适用于处理参数变化时出现的无穷大或零值问题。 对于正实数参数 a, b, x，计算汇合超几何 (Kummer) 函数 1F1(a,b,x) 的自然对数。使用泰勒级数在 x=100 处进行展开。
     
  • 关于 Kummer 函数（汇合超几何函数 1F1）的计算：处理复数参数 a、b 和复变量 z - MATLAB 开发
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    本项目提供了一个MATLAB工具箱用于计算Kummer函数(即1F1型汇合超几何函数)，特别适用于具有复杂参数a、b和复变量z的情形。 KUMMERCOMPLEX(a,b,z) 是复数参数 a、b 和复数变量 z 的汇合超几何函数 1F1（即 Kummer 函数）。通常情况下，程序会计算定义该函数的收敛级数之总和，直到下一项变得太小为止。对于大 abs(z) 的情况，则单独处理。（例如，请参考 Abramowitz, Stegun Handbook of special functions 中的 13.5.1 节）一些整数参数值的情况也会被特别考虑。该函数能够控制精度损失，并检查级数中的成员数量是否不足；如果出现问题，它会打印警告信息。在一切正常的情况下，其结果似乎与 Matematica 4.1 的十位精度一致。 此函数主要基于转换为 Matlab 的“Fortran 特殊函数库”。然而，该库只能计算实数值的 a 和 b 对应的汇合超几何函数。因此，这个文件可以看作是对复数 a 和 b 情况下的扩展版本。
     
  • 广义超几何函数的精确计算方法——基于MATLAB的实现
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    本文介绍了一种利用MATLAB软件精确计算广义超几何函数的方法，为科学研究和工程应用提供了高效工具。 使用高斯级数的直接求和方法来计算具有大量参数的广义超几何函数的数值计算器已经开发完成。pFq 定义如下： pFq = sum(z^k / k! * product(pochhammer(n[i], k), i=1..p) / product(pochhammer(d[j], k), j=1..q) , k=0..无穷大 ) 。可以通过指定所需精度（位数）作为参数来使用该函数。此计算器是基于密歇根理工大学 WF Perger 编写的原始 fortran77 源代码进行翻译的。
     
  • 2.关于超几何函数.pdf
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    本文档探讨了超几何函数的基础理论及其应用，涵盖了该函数的基本性质、各类变换公式以及在数学和物理领域的应用实例。适合对特殊函数理论感兴趣的读者参考学习。 超几何函数是数学中的一个重要特殊函数，其定义如下： $$F(\alpha, \beta; \gamma; z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_n (\beta)_n}{(\gamma)_n n!} z^n$$ 其中，$(\alpha)_n$ 是上升阶乘，定义为： $$(\alpha)_n = \alpha (\alpha+1) \cdots (\alpha+n-1)$$ 超几何函数满足以下微分方程： $$z(1-z) \frac{d^2w}{dz^2} + (\gamma - (\alpha + \beta + 1)z) \frac{dw}{dz} - \alpha\beta w = 0$$ 该方程有两个线性独立的解，分别为： $$w_1(z)=F(\alpha, \beta; \gamma; z),$$ 和 $$w_2(z)=z^{1-\gamma} F(\alpha - \gamma + 1, \beta - \gamma + 1; 2 - \gamma; z).$$ 超几何函数具有重要的性质，并在许多领域有着广泛的应用。例如，它们可以表示Gamma函数、Beta函数以及Legendre函数等其他特殊数学工具。此外，在量子场论中，超几何函数用于描述Greens 函数和propagator；而在工程学里，则常应用于信号处理与图像处理等领域。同时，计算机科学中的机器学习及数据分析也频繁使用到这类函数。 除了上述领域之外，数论、组合数学以及概率论等学科亦广泛采用超几何函数进行研究工作。由此可见，作为一种强大的数学工具，它对推动各个领域的进步起到了关键作用，并在不断的研究中展现出更多潜在的应用价值和新的发现。 自十八世纪以来，随着早期数学家们的探索与发现，超几何函数逐渐成为了一个重要的研究对象。如今，在现代科学的背景下，超几何函数依然是一个充满活力并且持续发展的领域。科研人员们通过深入探讨其性质以及应用范围来推动这一领域的进一步发展，并不断地拓展它在各个学科中的运用边界。 因此可以说，超几何函数作为一种不可或缺且多功能性的数学工具，在促进整个学术界的发展过程中扮演了极其重要的角色。
     
  • 一维整数阶高斯函数：实现任意正阶的高斯函数-MATLAB开发
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    本MATLAB资源提供了一种方法来实现任意正阶的一维整数阶高斯函数，适用于信号处理和图像处理等领域。 计算一维高斯函数的公式为：exp(-log(2)*(2*(x-x0)./FWHM).^(2*floor(abs(order)))); 其中： - x 是坐标； - x0 是功能中心； - FWHM 代表全宽半最大值； - 阶数表示高斯阶，正态高斯的阶为1。 需要注意的是：FWHM = (1/e 半宽)/sqrt(2*log(2))，这里 log 表示自然对数。
     
  • NMSE 计算函数 - MATLAB 开发
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    本项目提供了一个MATLAB工具箱，用于计算NMSE（归一化均方误差），适用于信号处理和模式识别中的性能评估。 此函数用于根据原始信号计算信号的NMSE值。它可以处理一维、二维或三维信号的NMSE计算。
     
  • 几个正交多项式的高斯求积法：此函数用于计算多项式的零点与权重 - MATLAB开发
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    本MATLAB工具箱提供了一种计算正交多项式零点及相应权重的高斯求积方法，适用于多种工程和科学领域的数值积分问题。 该函数用于计算特定数值积分问题所需的几个正交多项式的零点和权重。实施的正交规则包括Hermite（概率型）、Hermite（物理学家型）、Legendre、Chebyshev 和 Laguerre。其中，一个有趣的贡献是关于概率类型的高斯-厄米正交，通过比较数值积分的结果与标准高斯变量的矩进行了验证。此外，该函数还展示了两个数字：第一个显示根和权重；第二个则展示对应的正交多项式直到指定的阶数 m。最后可以看出由于权重公式的通用实现方式，其他类型的正交多项式可以很容易地添加到此功能中（case ...）。