斯坦福CS109 计算机科学中的概率论讲义

简介：
这本讲义为斯坦福大学计算机科学系的CS109课程编写，专注于将概率论原理应用于计算问题解决。它涵盖了统计学基础、随机变量和概率模型等核心概念，并通过实际编程示例展示了如何在数据科学中运用这些工具。它是学习计算机领域数据分析与机器学习技术的理想资源。 斯坦福 CS109 面向计算机科学的概率论讲义 ### 核心知识点概述 斯坦福大学的CS109课程是一门关于面向计算机科学的概率论讲义，该课程深入探讨了概率理论及其在计算机科学领域的应用。通过对克里斯·皮奇教授的讲座讲义进行分析，我们可以提炼出以下几个重要的知识点： 1. **计数的求和法则**：当一个实验的结果可以是集合A中的m个结果之一，也可以是集合B中的n个结果之一，且集合A与集合B没有共同元素时，实验的所有可能结果的数量为m + n。 2. **计数的乘法规则**：如果一个实验分为两个部分，第一部分有m种可能的结果，第二部分有n种可能的结果，无论第一部分的结果如何，整个实验的可能结果数量为m * n。 3. **包含-排除原理**：当实验的结果可以从两个可能有交集的集合A和集合B中选取时，实验的所有可能结果的数量为|A| + |B| - |A ∩ B|。 接下来，我们将详细解释这些概念，并通过具体的例子来加深理解。 #### 计数的求和法则 求和法则是计数中最基本的原则之一，主要用于计算两个互斥事件的结果总数。例如，在一个在线社交网络应用程序中，数据分布在旧金山和波士顿两个数据中心，每个中心分别有100台和50台服务器。如果一个请求被随机发送至其中一个数据中心，则根据求和法则，该请求可以被路由到的服务器总数为100 + 50 = 150台。 #### 计数的乘法规则 乘法规则是另一种重要的计数原则，适用于计算由多个步骤组成的复合事件的总数。例如，在抛掷两颗六面骰子时，每颗骰子都有六个可能的结果（从1到6）。根据乘法规则，这两颗骰子的所有可能组合共有6 * 6 = 36种。这里的关键在于，不管第一颗骰子出现什么数字，第二颗骰子仍然有六种可能的结果。 #### 包含-排除原理 包含-排除原理是处理两个或多个集合之间存在交集的情况时的重要工具。假设一个8位字符串（即一个字节）通过网络传输，并且接收方只接受那些以01开头或者以10结尾的字符串。为了确定符合这些条件的字符串数量，我们首先计算出以01开头和以10结尾的两种情况各有64种可能的结果（因为后面六位可以自由变化）。但是这两个集合是有交集的，即同时满足这两种条件的情况有16个结果。因此根据包含-排除原理，符合条件的字符串总数为64 + 64 - 16 = 112。 #### 地板和天花板函数 除了上述的核心知识点之外，讲义还提到了地板函数(floor function)和天花板函数(ceiling function)，这两个函数在计算机科学中也有广泛的应用。地板函数将一个实数向下取整到最接近的整数，而天花板函数则将实数向上取整到最接近的整数。例如，对于实数x = 3.7而言，其地板函数的结果为3，天花板函数的结果为4。 ### 总结 斯坦福大学的CS109课程通过克里斯·皮奇教授的讲座讲义系统地介绍了概率论的基础概念及其在计算机科学中的应用。本讲义重点讲解了计数的求和法则、乘法规则以及包含-排除原理，并通过具体的例子进行了阐释。这些概念不仅对于理解概率论本身至关重要，而且对于解决实际问题也非常有用。此外，地板函数和天花板函数也是计算机科学领域中经常用到的数学工具。