中国科学技术大学微积分习题解答

简介：
本书为中国科学技术大学微积分课程的配套辅导书，提供了丰富的习题及其详尽解答，旨在帮助学生深入理解微积分概念与方法。 ### 中科大微积分答案解析 #### 知识点一：极限定义与证明方法 **定义**：若对于任意的正数\( \varepsilon > 0 \)，存在正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，总有 \( |a_n - A| < \varepsilon \) 成立，则称数列 \( (a_n) \) 的极限为 \( A \)，记作 \[ \lim_{n \to \infty} a_n = A. \] 1. **证明**：利用极限定义证明下列极限。 - \( lim_{n to infty} frac{1}{n + 1} = 0 \) - \( lim_{n to infty} frac{\sin n}{n} = 0 \) - \( lim_{n to infty} frac{n^2 + 1}{2n^2 + 1} = frac{1}{2} \) - \( lim_{n to infty} frac{1}{n + 1 + frac{1}{n}} = 0 \) - \( lim_{n to infty} frac{n!}{n^n} = 0 \) - \( lim_{n to infty} frac{a^n}{n!} = 0 \)（其中\( a > 0 \)) **例1**：证明 \[ lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0. \] - 对于任意的 \( \varepsilon > 0 \)，取 \( N = frac{1}{\varepsilon} - 1 \)。则当 \( n > N \)时，有 \[ |frac{1}{n+1}-0|=\left|\frac{-n}{n + 1}\right|=frac{n}{n+1}<\varepsilon. \] 因此， \[ lim_{n to infty} frac{1}{n + 1}=0. \] **例2**：证明 \[ lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0. \] - 对于任意的 \( \varepsilon > 0 \)，取 \( N = frac{1}{\varepsilon} \)。则当 \( n > N \)时，有 \[ |frac{\sin n}{n}-0|=\left|\frac{\sin n}{n}\right|<\varepsilon. \] 因此， \[ lim_{n to infty} frac{sin n}{n}=0. \] **例3**：证明 \[ lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 1} = frac{1}{2}. \] - 对于任意的 \( \varepsilon > 0 \)，取 \( N = frac{2}{\varepsilon} \)。则当 \( n > N \)时，有 \[ |frac{n^2+1}{2n^2+1}-frac{1}{2}|=\left|\frac{-n^2 + 1}{2n^2 + 1}\right|<\varepsilon. \] 因此， \[ lim_{n to infty} frac{n^2 + 1}{2n^2 + 1}=frac{1}{2}. \] **例4**：证明 \[ lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1+\frac{1}{n}} = 0. \] - 对于任意的 \( \varepsilon > 0 \)，取 \( N = frac{1}{\varepsilon} \)。则当 \( n > N \)时，有 \[ |frac{1}{n+1+\frac{1}{n}} - 0|=\left|\frac{1}{n + 1 + \frac{1}{n}}\right|<\varepsilon. \] 因此， \[ lim_{n to infty} frac{1}{n+1+\frac{1}{n}}=0. \] **例5**：证明 \[ lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}= 0. \] - 对于任意的 \( \varepsilon > 0 \)，取 \( N = frac{1}{\varepsilon} \)。则当 \( n > N \)时，有 \[ |frac{n!}{n^n}-0|=\left|\frac{n!}{n^n}\right|<\varepsilon. \] 因此， \[ lim_{n to infty} frac{n!}{n^n}= 0. \] **例