电子科技大学数值分析参考答案.pdf

简介：
《电子科技大学数值分析参考答案》包含了该校数值分析课程中的习题解答，适用于需要深入理解数值计算方法及其应用的学生和教师。 根据给定文件的信息，我们可以总结出以下相关的数值分析知识点： ### 1. 误差分析 #### 相对误差与函数误差的关系 - **题目描述**：假设$x > 0$，且$x$的相对误差限为$\delta$，求$\ln x$的误差。 - **解析**：该题目考查了如何通过变量的相对误差来估算函数值的误差。根据微分学原理，可以得出$\ln x$的误差可以通过$x$的误差和$\ln x$的导数来估算。具体地，可以通过绝对误差传递公式进行计算。 绝对误差传递公式为： \[ e(\ln x) = |x - x^*| \times |\frac{d\ln x}{dx}|_{x=\xi} \approx \frac{|x - x^*|}{|x^*|} \leq \delta \] 或者使用对数的性质直接计算： \[ e(\ln x) = |\ln x - \ln x^*| = |\ln\left(\frac{x}{x^*}\right)| \leq \frac{|x - x^*|}{|x^*|} \leq \delta \] #### 绝对误差限 - **题目描述**：给定了$x=-2.18$和$y=2.1200$，求它们的绝对误差限$\varepsilon(x)$和$\varepsilon(y)$。 - **解析**：根据四舍五入规则，绝对误差限通常为半个单位的最低位数。因此，对于$x=-2.18$，其绝对误差限为$0.005$；对于$y=2.1200$，其绝对误差限为$0.00005$。 #### 有效数字 - **题目描述**：给出三个近似值$x_1=1.38$、$x_2=-0.0312$和$x_3=0.00086$，每个的绝对误差限均为$0.005$，求各自的有效数字。 - **解析**：有效数字是指一个数最右边第一个非零数字起到包括最后一个可靠的数字为止的所有数字。对于$x_1=1.38$，其绝对误差限不超过末位数的小数点后第二位，故具有三位有效数字；对于$x_2=-0.0312$，同样不超过末位数的小数点后第二位，但仅有一个非零数字，故具有一位有效数字；对于$x_3=0.00086$，虽然有两个非零数字，但由于绝对误差限的影响，有效数字为零。 #### 相对误差限 - **题目描述**：已知近似数$x$有两位有效数字，求其相对误差限。 - **解析**：相对误差限是指绝对误差与真值的比例。对于具有两位有效数字的数$x$，其绝对误差限大约为末位数的一半，即$0.5 \times 10^{-2}$。因此，相对误差限不会超过$5 \times 10^{-2}$。 ### 2. 数值稳定性分析 #### 递推公式的误差累积 - **题目描述**：根据递推公式$y_n = y_{n-1} - \frac{783}{100}$计算$y_{100}$的误差。 - **解析**：本题考查的是递推公式中的误差累积问题。由于初值$y_0=28$没有误差，误差来源于$\frac{783}{100}$的近似值$27.982$。通过分析递推公式中的误差传播规律，可以计算出最终结果的误差界限为$0.001$。 #### 方程的数值求解 - **题目描述**：求解方程$x^2 - 56x + 1 = 0$的两个根，要求根具有四位有效数字。 - **解析**：根据题目要求，首先需要确定判别式的有效数字位数，以便求解根时保持精度。对于给定方程$a=1$、$b=-56$和$c=1$，故$\Delta=b^2 - 4ac \approx 55.96427$，需要取七位有效数字才能保证求解出的根具有四位有效数字。利用求根公式得到的根分别具有不同的有效数字位数。如果采用韦达定理，则需要较少的有效数字位数来保持同样的精度。 #### 误差随参数变化的趋势 - **题目描述**：对于$s=\frac{