《近世代数习题及解答》一书汇集了大量近世代数课程中的经典与新颖题目，并提供详尽答案解析，旨在帮助学生深入理解和掌握抽象代数的核心概念和理论。
【近世代数】是数学的一个重要分支，主要研究抽象代数结构中的群、环、域等概念及其性质。以下是从题目中提取出的一些关键知识点：
1. **结合律与交换律**：在代数运算中，结合律指的是三个或更多元素进行运算时，无论怎样组合括号，结果都是相同的。而交换律则是指任意两个元素交换位置后，运算结果不变。
2. **群的阶**：群中元素的阶是指该元素与自身相乘的次数，使得结果为单位元的最小正整数。
3. **对称群**：对称群是所有置换的集合。题目中的7S表示7个元素的对称群，包含7!个元素。两个置换的乘积代表了先执行一个置换再执行另一个的效果。
4. **无零因子环**：在环中，若没有非零元素的乘积为零，则称其为无零因子环。
5. **素元**：在整环I中，素元是指除了平凡因子1和自身外，没有其他非平凡因子的元素。素元不一定是质数，但满足类似性质。
6. **一一映射与自同构**：一一映射是两个集合间的映射，使得每个元素都有唯一对应的元素。自同构保持了结构的不变性。
7. **群的乘法**：群中元素的乘法可能不遵循熟悉的规则。
8. **代数运算**：需要满足特定的规则，如封闭性、结合律等。
9. **自同构**：实数集上的映射可以保持加法运算不变。例如，5x + 1是一个这样的自同构。
10. **偶数阶群**：在偶数阶群中，每个元素与其逆元成对出现。
11. **对称群的乘积**：两个置换的乘积可以理解为一系列置换的复合效果。
12. **子群的阶**：如果一个群G有48个元素，则其真子群不能具有与这个数相同的倍数作为阶，例如18不是可能的值。
13. **循环子群**：由某个元素生成的循环子群的阶是该元素阶的因子。若a的阶为24，则9a的循环子群阶为8。
14. **消去律**：在环中，如果满足消去律则意味着没有非零零因子。
15. **一元多项式环**：在一元多项式环[ ]F x 中，每个非零多项式都可以被一组线性多项式整除。这里 F 是一个域。
16. **唯一分解环**：在这样的环中，每个元素都能唯一地分解为不可约因子的乘积。
17. **域的特征**：定义为使得结果为0元的最小正整数n满足 n*1=0 其中的 1 是单位元。例如一个有30个元素的域可能具有5作为其特征值，因为5是能被30整除的最小正整数。
18. **环与域的同态**：保持加法和乘法结构不变。
19. **唯一分解环中的素理想**：在这样的环中，理想I满足唯一性分解条件时称为素理想。
以上是对近世代数练习题涉及的概念和原理详细解释。这些知识点涵盖了群论、环论、域论的基本内容，并为深入理解和应用提供了基础。
5星
