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关于一类最优分配问题的动态规划方法（2002年）

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简介：
本文提出了一种解决最优分配问题的动态规划算法，并详细探讨了该方法在特定条件下的应用与优势。 考虑一类较一般的最优指派问题：将m项工作分配给n个人完成（其中m大于等于n），要求每项工作只能由一个人来承担，第i个人可以同时处理b i项工作，这里b i是未知数，并且满足d i≤b i≤e i的条件（这里的e i和d i分别表示第i个人所需工作的上限和下限）。此外已知b_i=m是一个常数值（对于所有1到n范围内的i值），并且每个人完成某项工作的时间为c_ij，其中c_ij是非负数。本段落提出了一种动态规划算法来解决上述最优指派问题，即在总耗用时间最小的情况下分配这些任务。

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  • 关于一类最优分配问题的动态规划方法（2002年）
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    本文提出了一种解决最优分配问题的动态规划算法，并详细探讨了该方法在特定条件下的应用与优势。 考虑一类较一般的最优指派问题：将m项工作分配给n个人完成（其中m大于等于n），要求每项工作只能由一个人来承担，第i个人可以同时处理b i项工作，这里b i是未知数，并且满足d i≤b i≤e i的条件（这里的e i和d i分别表示第i个人所需工作的上限和下限）。此外已知b_i=m是一个常数值（对于所有1到n范围内的i值），并且每个人完成某项工作的时间为c_ij，其中c_ij是非负数。本段落提出了一种动态规划算法来解决上述最优指派问题，即在总耗用时间最小的情况下分配这些任务。
     
  • 运用动态规划方法解决资源分配问题
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    本文探讨了利用动态规划策略来优化和解决复杂环境下的资源分配挑战，提供了一种高效、灵活的问题解决方案。 实验课程：算法分析与设计 实验名称：用动态规划法求解资源分配问题（验证型实验） **实验目标** 1. 掌握使用动态规划方法解决实际问题的基本思路。 2. 进一步理解动态规划的本质，巩固设计动态规划算法的步骤。 **实验任务** 1. 设计一个利用动态规划方法解决问题的算法，并给出非形式化的描述。 2. 使用C语言在Windows环境下实现该算法。对于每个实例中的n=30和m=10的情况，计算出10个不同的案例，其中Ci j为随机生成于(0, 10^3)范围内的整数。记录下每一个实验的数据、执行结果（包括最优分配方案及对应的值）以及程序运行时间。 3. 分析算法的时间复杂度和空间复杂度，并结合实际的实验数据进行解释。 **实验设备与环境** - PC - C/C++编程语言 **主要步骤** 1. 根据设定的目标，明确具体任务； 2. 对资源分配问题进行分析，找出计算最优值所需要的递推公式； 3. 设计动态规划算法，并编写程序实现该算法； 4. 编写测试数据并运行程序，记录下结果； 5. 分析时间复杂度和空间复杂度，并解释实验的结果。 **问题描述** 某工厂计划将n台相同的设备分配给m个车间。每个车间获得这些设备后可以为国家提供一定的利润Ci j（其中i表示第j号车间可以获得的设备数量，1≤i≤n, 1≤j≤m）。如何进行分配才能使总的盈利最大？ **算法基本思想** 该问题是一个简单的资源优化配置问题，由于具有明显的最优子结构特性，可以使用动态规划方法来解决。定义状态量f[i][j]为用i台设备给前j个车间时的最大利润，则有递推关系式：f[i][j]=max{ f[k][j-1]+c[i-k][j]}, 0<=k<=i。 同时，p[i][j]表示最优解中第j号车间使用的设备数量为 i-p[i][j]。根据上述信息可以反向追踪得到具体的分配方案。 程序实现时采用顺推策略：先遍历每个可能的车间数；再考虑每种情况下的设备总数；最后确定状态转移过程中所需的中间变量，通过三个嵌套循环即可完成计算。 时间复杂度为O(n^2*m)，空间复杂度则为O(n*m)。如果只需求解最大利润而不需获得具体的分配方案，则可以减少一维的状态量存储，将空间复杂度优化至 O(n)。
     
  • 动态规划下的资源分配问题
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    本研究探讨了在复杂决策场景中利用动态规划方法解决资源最优分配的问题，通过构建数学模型来提高资源配置效率和灵活性。 某厂计划将n台相同的设备分配给m个车间。每台设备分发到不同的车间后可以为国家带来一定的利润，记作Cij（i台设备提供给j号车间的盈利），其中1≤i≤n且1≤j≤m。请问如何安排这些设备以达到最大的总收益？
     
  • 最少硬币问题的动态规划解法
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    本文探讨了使用动态规划技术解决最少硬币找零问题的方法，通过构建最优子结构来寻找用最少数量硬币找零的有效算法。 动态规划法可以用来解决最少硬币问题。这个问题的目标是使用最少数量的硬币来凑出一个特定金额。通过构建一个表格记录到达每个金额所需的最小硬币数，我们可以高效地找到解决方案。这种方法避免了重复计算，从而提高了算法效率。 下面是用Python实现的一个简单的例子： ```python def minCoinChange(coins, amount): # 创建一个数组存储到amount为止的最少硬币数量，初始值为无穷大（表示未访问） dp = [float(inf)] * (amount + 1) # 边界条件：凑出金额0需要0个硬币 dp[0] = 0 # 遍历所有可能的金额从1到目标金额 for i in range(1, amount + 1): # 对于每个金额，检查每种面值的硬币是否可以使用，并更新dp数组中的最小值 for coin in coins: if i - coin >= 0: dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) # 如果目标金额无法凑出，则返回-1，否则返回最少需要的硬币数量 return dp[amount] if dp[amount] != float(inf) else -1 # 示例使用：假设我们有面值为 [1,2,5] 的硬币，并且要找零 11 分。 coins = [1, 2, 5] target_amount = 11 print(minCoinChange(coins, target_amount)) ``` 以上代码展示了如何应用动态规划来解决最少硬币问题，其中`minCoinChange()`函数接收一个硬币面值列表和目标金额作为输入，并返回凑成该金额所需的最小硬币数量。
     
  • 最少硬币问题的动态规划解法
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    本篇文章探讨了如何使用动态规划方法解决最少硬币找零问题，通过构建最优子结构和重叠子问题来寻找解决方案。 设计一个算法来解决最少硬币问题，并编写相应的程序实现。在超市找零钱时，寻找一种使找回的钱数使用的硬币数量最少的方法。
     
  • 01背包问题的动态规划方法
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    简介：本文探讨了经典的01背包问题，并详细介绍了使用动态规划解决该问题的方法。通过构建递推关系和状态转移方程来寻找最优解，展示了算法设计中的核心思想与技巧。 01背包问题是一种经典的计算机科学优化问题，在有限资源下寻找最佳组合方案方面发挥着重要作用。动态规划作为一种通过分解复杂问题为子问题来解决的方法，在该领域具有重要的理论价值与实际应用背景。这种方法利用表格存储中间结果，避免重复计算，从而提高解决问题的效率。 具体而言，01背包问题是这样描述的：有n个物品，每个物品i有一个重量wi和一个价值vi，并且还有一个承重为W的背包。目标是选择一些物品放入背包中，在不超出其承载能力的前提下使总价值最大化。需要注意的是，每一个物品只能被选取一次或者完全不予考虑。 动态规划解决01背包问题的关键在于创建一个二维数组dp[i][j]，其中i代表前i个物品的选择情况，而j表示当前剩余的背包容量。dp[i][j]的含义是在考虑了前i件物品并且在给定的背包容量为j的情况下可以获得的最大价值。我们可以通过下面的状态转移方程来填充这个二维数组： 如果第i个物品重量超过剩下的可用空间（即wi > j），则不能选择该物品，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j]; 否则可以选择或者不选第i件物品，并取两者中的较大值作为结果，即dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)。 最终的结果会是dp[n][W]，表示在考虑所有n个物品且背包容量为W时可以获得的最大价值。 当实现01背包问题的动态规划算法时，通常采用自底向上的方法来逐步解决更大范围的问题。此外为了节省空间复杂度，可以只使用一维数组 dp[j] 来代替二维数组dp[i][j]，因为状态仅与当前物品和剩余容量相关联。 除了01背包问题之外，动态规划还可以应用于其他多个领域如最短路径算法（例如Dijkstra算法、Floyd算法）、最长公共子序列以及最小编辑距离等。掌握动态规划的思想对于解决复杂问题至关重要，并能帮助设计出高效且优雅的解决方案。 在学习和理解动态规划时，特别是01背包问题的具体应用方法，可以通过研究相关的代码示例与练习题目来提升自己的理解和实践能力。
     
  • C++背包问题的动态规划方法
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    本文章介绍了使用C++编程语言解决经典的背包问题时采用的动态规划策略和实现技巧。通过优化算法，能够高效地求解在给定容量下的最大价值。 ```cpp #include using namespace std; const int N = 1010; int f[N]; int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 0; i < n; ++i) { int v, w; cin >> v >> w; for (int j = m; j >= v; --j) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w); } cout << f[m]; return 0; } ```
     
  • 关于动态规划优化方法的简要探讨
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    本文对动态规划的基本原理进行了概述，并讨论了若干种优化策略与技巧，旨在为解决复杂问题提供更高效的算法思路。 动态规划是一种求解最优化问题的方法，在时间效率方面具有显著优势，尽管其空间复杂度通常较高。然而，它在计算过程中可能会遇到不必要或重复的子问题求解情况，因此需要进一步进行优化处理。特别是在NOI及省选赛场上，普通的裸动态规划可能无法满足所需的时间性能要求。本段落介绍了四种提高时间效率的动态规划优化方法：四边形不等式、斜率优化、单调队列以及在解决小规模NP问题时更为有效的状态压缩动态规划。关键词包括：动态规划优化、四边形不等式、斜率优化、单调队列和状态压缩动态规划。
     
  • 动态规划应用（如背包问题和最优装载问题）
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    本课程专注于讲解动态规划算法及其在解决经典问题上的应用，例如背包问题与最优装载问题，帮助学习者掌握高效解决问题的方法。 计算机算法分析第四章涉及背包问题与最优装载问题的证明等内容，并包括相关的讲义。