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HJB-Solver: Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值解法

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简介：
简介：HJB-Solver是一款专为求解Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程设计的软件工具。它提供高效的数值方法，用于解决最优控制问题中的数学挑战，适用于学术研究与工程应用。 HJB求解器是一种用于线性数值问题的工具。其核心功能之一是计算离散可达集，该过程可以通过函数I=reachableset(x,U,h,Psi,f0Psi,FPsi,f0,F)实现，在这个过程中假设空间和控制空间都是一维的。 主要的功能包括： - [Xi,v]=HJB(t0,T,N,M1,M2,f0,F,g,U,Omega0) 这个函数用于返回节点值矩阵以及对应的v值。其中，t0是时间范围开始的时间点；T为时间范围结束的时间点；N表示在给定时间段内的时间步数；M1和M2则代表空间的步数；f0为RHS（右侧）仿射部分的具体形式例如@(t,x) x ；F则是线性部分，如@(t,x) sin(x)。g是边值函数示例为@(t,x)t*exp(x)，U表示控制集[1,5]。 此外，还有一个辅助功能： - v=optimization(Xi,vXi,I,i,j) 这个过程是在已经计算出可达集合I的情况下执行的一个步骤。

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  • HJB-Solver: Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值解法
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    简介：HJB-Solver是一款专为求解Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程设计的软件工具。它提供高效的数值方法，用于解决最优控制问题中的数学挑战，适用于学术研究与工程应用。 HJB求解器是一种用于线性数值问题的工具。其核心功能之一是计算离散可达集，该过程可以通过函数I=reachableset(x,U,h,Psi,f0Psi,FPsi,f0,F)实现，在这个过程中假设空间和控制空间都是一维的。 主要的功能包括： - [Xi,v]=HJB(t0,T,N,M1,M2,f0,F,g,U,Omega0) 这个函数用于返回节点值矩阵以及对应的v值。其中，t0是时间范围开始的时间点；T为时间范围结束的时间点；N表示在给定时间段内的时间步数；M1和M2则代表空间的步数；f0为RHS（右侧）仿射部分的具体形式例如@(t,x) x ；F则是线性部分，如@(t,x) sin(x)。g是边值函数示例为@(t,x)t*exp(x)，U表示控制集[1,5]。 此外，还有一个辅助功能： - v=optimization(Xi,vXi,I,i,j) 这个过程是在已经计算出可达集合I的情况下执行的一个步骤。
     
  • HJB-Solver：求解 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的数值方法
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    HJB-Solver是一款专门设计用于高效求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的软件工具。它提供了一系列先进的数值算法，适用于最优控制理论中的复杂问题求解。 HJB求解器是一个用于解决线性数值问题的工具。它主要用于计算离散可达集，并且假设空间和控制空间是一维的。 重要功能描述如下： - `I = reachableset(x, U, h, Psi, f0Psi, FPsi, f0, F)`：该函数用来计算离散可达集。 - `[Xi,v] = HJB(t0,T,N,M1,M2,f0,F,g,U,Omega0)`: 这是主要功能，返回节点值矩阵和对应于这些点的v值。 - `v=optimization(Xi,vXi,I,i,j)`：在已知可达集I的情况下执行一步操作。 参数描述如下： - t0: 时间范围开始 - T: 时间范围结束 - N: 时间步数 - M1、M2: 空间步数 - f0: 右侧的仿射部分，例如 `@(t,x) x` - F: 右侧的线性部分，例如 `@(t,x) sin(x)` - g: 边值函数，例如 `@(t,x) t*exp(x)` - U：控制集 `[1, 5]` 以上内容详细描述了HJB求解器的功能及参数设置。
     
  • 基于TT格式的离散控制Matlab代码-TT-HJB：针对Hamilton-Jacobi-Bellman方程的牛顿策略迭代方法
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    TT-HJB是一款利用Tensor Train (TT) 格式优化求解Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的MATLAB工具，采用高效的牛顿策略迭代算法进行离散控制问题的数值计算。 离散控制Matlab代码TT-HJB用于解决Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的牛顿策略迭代方法在TensorTrain（TT）格式下的实现。关于数学细节，请参考相关文献。安装此代码需要下载或克隆两个相关的存储库，并将所有子目录添加到Matlab路径中。每个文件的功能均有详细说明，也可通过Matlab的帮助功能获取信息。例如，有关TT-HJB求解器的语法，请查阅help(hjb_leg)。 数值测试脚本： 这些顶级脚本用于重现文中提到的数值实验。 - test_hjb_allencahn1.m：处理一维Allen-Cahn方程（4.1节）。可以通过设置有限的umax参数来启用控制约束功能。 - test_hjb_allencahn2.m：针对二维Allen-Cahn方程。请注意，该测试会消耗大量的CPU时间。 - test_hjb_fokker.m：解决Fokker-Planck方程（4.2节）。 辅助文件parse_parameter.m用于处理输入参数。所有数值实验均需要用户从键盘输入模型和近似参数，默认的提示信息提供了初始设置，可作为初步试验的基础。
     
  • Hamilton-Jacobi方程求解工具包
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    Hamilton-Jacobi方程求解工具包是一款专为科研人员和工程师设计的软件，它提供了一系列高效算法来解析并数值模拟经典力学及控制理论中的复杂问题。该工具包能够帮助用户快速准确地解决问题，并支持广泛的物理系统建模与分析。 Hamilton-Jacobi方程求解工具包非常优秀。
     
  • 改进预承诺均值方差投资组合策略：基于半自筹资金的Hamilton-Jacobi-Bellman方程方法的研究论文
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    本研究提出一种结合半自筹资金机制与HJB方程的创新方法，旨在优化预承诺均值方差投资策略，提升资产配置效率和收益风险比。 我们概述了半自筹资金策略的概念，这一概念最初由Ehrbar在1990年的《经济理论杂志》上提出，并于2012年由Cui等人在《数学金融》中进行了正式化。该策略应用于预承诺均值方差（MV）最优投资组合分配问题。所提出的半自筹资金策略基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值解框架，可以轻易地适用于各种一般情况，包括连续或离散的再平衡、有限活动跳跃扩散以及现实的投资组合约束。 我们证明了当投资组合财富超过某个阈值时，MV最佳策略是提取现金。这些半自筹资金策略通常不是唯一的。通过数值结果验证发现，具有正现金提取的策略能够生成更优的有效边界。基于历史时间序列参数估计的测试表明，半自筹资金策略对估算误差具备一定的鲁棒性。
     
  • Jacobi迭代法在线性方程数值解中的MATLAB实现
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    本文介绍了如何使用MATLAB软件来实现和分析Jacobi迭代法在求解线性方程组数值解过程中的应用与效果。 线性方程数值解中的Jacobi迭代在Matlab中的实现方法。
     
  • 基于MATLAB的线性方程组JGS与Jacobi迭代法数值求解
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    本研究利用MATLAB软件探讨了线性方程组的数值解法，重点分析并比较了JGS（加权雅可比）和Jacobi两种迭代算法的有效性和收敛速度。 本段落演示了如何使用自编代码通过迭代法求解线性方程组，并提供了雅克比迭代和JGS迭代两种方法的实现细节。各函数文件独立设计，方便移植与复用。题目附有解答，选自西北工业大学数值计算方法课程作业。采用MATLAB编程语言完成相关算法的实现。
     
  • Jacobi方法求特征值 (2011年)
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    本文介绍了利用Jacobi方法求解矩阵特征值的经典算法，通过旋转操作逐步减少矩阵非对角元素，最终实现准确高效地计算实对称矩阵的所有特征值。发表于2011年。 本段落讨论了求实对称矩阵特征值的经典Jacobi方法，并通过一系列的正交相似变换将实对称矩阵化为对角矩阵，从而求出全部特征值及其相应的特征向量。文中给出了所有正交变换的具体计算公式，并利用MATLAB编程实现了这些算法，提供了一种简单实用的计算工具以解决实际问题。
     
  • Matlab中使用Jacobi法求解特征值的程序
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    本段介绍了一种利用MATLAB编程实现Jacobi迭代算法来计算矩阵特征值的方法。代码简洁高效，适用于工程和科学计算中的特征值问题求解。 用Jacobi法求特征值的Matlab程序代码有详细注解，可以根据个人需求进行修改。
     
  • HJB方程（一）
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    HJB方程（一）介绍了最优控制理论中的核心数学工具——Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的基本概念和性质，为后续深入研究打下基础。 HJB方程是关于最优控制理论的重要概念，在工程、经济学、运筹学等领域有着广泛应用。它全称为Hamilton-Jacobi-Bellman方程，是在连续时间最优控制问题中动态规划方法的核心工具。 理解一个基本的最优控制问题框架： 1. **状态方程**：描述了系统状态随时间和控制变量的变化关系，通常表示为 \( x(k+1) = f_D(x(k), u(k), k) \)，其中 \( x(k) \) 是状态变量，\( u(k) \) 是控制变量，\( f_D \) 是状态转移函数，\( k \) 表示时间步骤。 2. **容许控制**：定义了控制变量 \( u(k) \in U \) 和状态变量 \( x(k)\in X \) 的取值范围。 3. **目标**：优化问题的目标通常是指到达特定目标状态，如 \( x(N) \in S \)，其中 \( N \) 是问题的最终时间步。 4. **性能指标**：衡量控制策略优劣的标准，通常是累积成本或收益。表示为 \( J(u; x(k), k) = h_D(x(N), N) + \sum_{i=k}^{N-1} g_D(x(i), u(i), i) \)，这里 \( h_D \) 和 \( g_D \) 分别是终端成本函数和阶段成本函数。 接下来，我们进入HJB方程的核心部分。HJB方程是由Richard Bellman提出的动态规划理论的一部分，它描述了如何找到最优控制策略的微分方程形式。在最优性原理的基础上，HJB方程表达了这样一种思想：无论初始条件如何，最优控制路径的性能指标对于从这个初始条件演变出来的所有可能状态路径都是最优的。 **定理1 (最优性原理)** 指出，在采用最优策略时，不论初始状态如何，累积成本将是全局最低的。 **定理2 (Bellman方程)** 给出了HJB方程的形式：存在一个值函数 \( V(x_0, k_0) \)，它给出了从初始状态 \( x_0 \) 和时刻 \( k_0 \) 开始，采用最优策略时的最小性能指标。具体来说： - 当 \( k=N \) 时，\( V(x(N), N) = h_D(x(N), N) \) - 对于 \( k < N \)，值函数满足动态规划方程：\( V(x(k), k) = \min_{u(k)\in U}\left\{g_D(x(k), u(k), k) + V(x(k+1), k+1)\right\} \) HJB方程与拉格朗日变分法、哈密尔顿方程组以及经典变分原理有着密切的关系，特别是在控制理论中。当值函数二次可微时，它为寻找最优控制提供了数学基础。 这一理论在许多实际问题中都有广泛应用，如自动控制、经济模型和金融决策等领域。通过求解HJB方程，我们可以找到使性能指标最小化的最优控制策略。