线性最小二乘的正规方程组方法

简介：
本文章介绍了线性最小二乘法中的正规方程组求解方法，详细阐述了该方法的基本原理、数学推导及其应用范围。 使用正规方程组的方法实现最小二乘如下： 1. 首先考虑线性方程组 \(Ax=b\)，其中矩阵 \(A\) 是一个具有 \(m\) 行和 \(n\) 列的系数矩阵。通过将矩阵 \(A\) 的转置与自身相乘得到一个新的对称正定矩阵 \((A^T A)\)，同时等式右侧也变为\(A^T b\)，从而形成了新的方程组形式：\((A^T A)x = A^T b\)。 2. 接下来利用楚列斯基分解方法求解上述新形成的方程组。首先对方程左侧的矩阵 \((A^T A)\) 进行分解为一个下三角矩阵 \(L\) 和它的转置矩阵 \(L^T\) 的乘积，即\(LL^T = (A^T A)\)。 3. 在完成楚列斯基分解后，通过前代和回代的方法求解线性方程组。具体来说，先用已知的下三角矩阵 \(L\) 解出中间向量 \(y\)（使得 \(Ly=A^T b\)），然后利用这个结果再通过上三角矩阵\(L^T\) 求得最终的解向量 \(x\). 4. 由于新方程组 \((A^T A)x = A^T b\) 和原方程组 \(Ax=b\) 是同解的，因此上述方法得到的结果就是我们所要找的最小二乘问题的最优解。