数理统计复习资料.pdf

简介：
《数理统计复习资料》是一份全面总结了数理统计核心知识点和重要公式的复习材料，适用于备考各类统计学考试的学习者。 ### 数理统计复习笔记知识点概览 #### 第一章 抽样和抽样分布 ##### 1.1 母体和子样 - **母体**：指研究对象的全体，即研究对象的全部集合。 - **个体**：构成母体的每一个单独的研究对象。 - **母体分布**：母体中数量指标的不同数值及其对应的出现比例，相当于随机变量的概率分布。 - **母体X的分布函数F(x)**：表示随机变量X不超过某个值x的概率。 ##### 子样概念 - **子样(样本)**：从母体中随机抽取的部分个体。 - **子样中的个体**：子样内的每个研究对象。 - **子样容量**：子样中包含的个体数量。 - **简单子样**：要求子样中的个体独立并且服从与母体相同的分布。 - **子样分布的形式**： - 频数和频率分布 - 经验分布函数 - 直方图 ##### 子样数字特征 - **子样平均数和子样方差** - 子样平均数：( overline{x} = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i ) - 子样方差：( s^2 = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2 ) - **子样阶原点矩和子样阶中心矩** - 子样k阶原点矩：( m_k = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i^k ) - 子样k阶中心矩：( m_k = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^k ) - **子样中位数和子样极差** - 子样中位数：将子样数据按大小排序后位于中间位置的数值。 - 当子样容量n为奇数时，中位数为排序后的第(frac{n+1}{2})个值。 - 当子样容量n为偶数时，中位数为排序后的第(frac{n}{2})和第(frac{n}{2} + 1)个值的平均。 - 子样极差：子样中最大值与最小值之差。 ##### 1.2 常用的抽样分布 - **正态母体中均值和标准差的分布** - 若( X_1, X_2, ldots, X_n )是独立同分布的随机变量，且每个随机变量都服从正态分布( N(mu, sigma^2) )，则其均值( overline{X} )也服从正态分布( N(mu, frac{sigma^2}{n}) )；而标准化后的均值( frac{overline{X} - mu}{sigmasqrt{n}} )服从标准正态分布( N(0, 1) )。 - **重要的抽样分布** - **χ² 分布**： 定义：设( Z_1, Z_2, ldots, Z_k )是独立同分布的随机变量，每个都服从标准正态分布( N(0, 1) )，则随机变量( Z_1^2 + Z_2^2 + cdots + Z_k^2 )的分布称为自由度为( k )的χ² 分布。 - **t 分布**： 定义：设随机变量( Z )服从标准正态分布( N(0, 1) )，随机变量( W )服从自由度为( k )的χ² 分布，则随机变量( T = frac{Z}{sqrt{Wk}} )的分布称为自由度为( k )的t分布。 - **F 分布**： 定义：设随机变量( U )服从自由度为( k_1 )的χ² 分布，随机变量( V )服从自由度为( k_2 )的χ² 分布，则随机变量( F = frac{Uk_1}{Vk_2} )的分布称为自由度为( (k_1, k_2) )的F分布。 #### 第二章 参数估计 - **参数估计的目标**：利用样本信息对总体分布中的未知参数作出估计。 - **参数估计方法分类** - 点估计 - 区间估计 - **点估计方法** - **矩估计法**：通过样本矩来估计总体矩，进而估计参数。 - **极大似然估计法**：寻找使得