本手册介绍了基于Mindlin板理论开发的四边形单元，在声学及振动分析软件中的具体应用，涵盖建模、仿真等技术细节。
7.4 基于Mindlin板理论的四边形单元
前面提到的矩形单元和三角形单元都是基于Kirchhoff薄板理论构建的，这种理论忽略了剪切变形的影响。由于Kirchhoff板理论要求挠度导数连续，这给构造协调单元带来了不少困难。为了克服这一问题，采用考虑剪切变形影响的Mindlin板理论是一种有效的方法[9,11]。这种方法不仅较为简单且精度较高，并能够利用等参变换得到任意四边形甚至曲边四边形单元，因此具有较高的实用价值。
7.4.1 位移模式
设有4至8个节点组成的四边形板单元（如图所示）。根据Mindlin板理论的假设，在板块内任一点处的位移可以由三个广义位移w、xψ和yψ完全确定。为了与有限元中的结点位移相对应，采用以下位移矩阵：
\[ \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ w \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\xi & \eta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w\\
-\theta_{x}\\
-\theta_{y}
\end{pmatrix}\]
其中，\(u_x\)和\(u_y\)表示单元在x、y方向上的位移；w为挠度；而θx和θy分别代表绕x轴和y轴的转角。这些广义位移通过结点处对应的参数（如图中的fzi, Mθyi 和Mθxi）来描述。
\[ \begin{array}{ccccccccc}
i & w_i (f_{z,i}) & \theta_{y,i} (M\theta_{y,i}) & \theta_{x,i} (M\theta_{x,i})
\end{array}\]
图7-6展示了四边形板单元及其结点位移的表示方法。
5星
