本报告为DSP课程设计作品，详细记录了利用数字信号处理器完成256点快速傅里叶变换算法的设计与实现过程。报告中深入探讨了算法原理及其优化策略，并提供了详尽的实验结果分析。
本报告旨在加深对离散傅里叶变换（DFT）算法原理及基本性质的理解，并掌握快速傅里叶变换（FFT）的算法理论以及其子程序的应用流程，学习如何利用 FFT 对连续信号与时间序列进行频谱分析的方法，同时了解数字信号处理中 FFT 设计和编程的思想。
快速傅立叶变换是一种高效实现离散傅立叶变换的重要工具。它通过减少乘法项的数量来简化计算过程，并将长序列的 DFT 分解成短序列的形式以进一步降低复杂度。这种分解方法的关键在于利用了旋转因子WN 的对称性和周期性特性。
FFT 算法可以分为时间抽取 FFT（DIT-FFT）和频率抽取 FFT（DIF-FFT）。在 DIF-FFT 中，输入信号被划分为偶数部分与奇数部分进行处理。对于基数为 2 的情况，N点的序列会被分解成两个 N/2 点子序列。
具体来说，在 DIF-FFT 方法中，假设序列 x(n) 包含 2^m 个元素，则可以将其拆分成两组：偶数项和奇数项。通过这种方式定义了两个新的序列x1(k) 和 x2(k)，分别对应于原始数据的偶数索引与奇数索引部分。
基于这些分解，我们可以写出 N 点 DFT 的简化公式：
- 对于 k=0,1,...,N/2−1
- 前半部分：x[k] = x1[k] + WN^k * x2[k]
- 后半部分：x[N/2+k] = x1[k] − WN^k * x2[k]
这里，WN 是旋转因子。通过这种方式可以将 N 点的 DFT 转化为更小规模的问题来处理。
在基数为 2 的 FFT 中，我们设序列长度 N=2^M，则整个计算过程包含 M 层操作，每层包含了N/2个基本运算单元（蝶形结构）。因此，在进行完整的 N 点变换时总共需要执行MN/2次此类基础运算。通过递归地应用这种分解策略可以极大地减少所需的总计算量。
本课程还涵盖了如何使用CCS软件观察波形和频谱，并掌握在实际场景中运用FFT对信号的频率成分进行分析的方法和技术。
5星
