Quadratic interpolation algorithm for finding extrema in code

简介：
该方法属于数值分析范畴，在寻找函数极值方面起着关键作用。它建立于三次线性插值原理的基础上，并通过构造一个与给定三点相吻合的二次多项式来模拟目标函数的行为。通过对所构建二次模型求导，并找出其极值点的位置，我们可以有效识别出原函数的潜在极值位置。在示例案例中，我们定义了一个函数$ f(x) = 8x^3 - 2x^2 - 7x + 3 $，其目的是确定这个函数的最小值位置，并且要求计算结果与真实值之间的偏差不超过0.001。设定初始搜索范围为从$a₁$到$a₃$等于0至2，计算终止条件设定为误差不超过千分之一。该程序的核心环节是一个持续迭代更新的过程，其主要作用是不断调整区间边界并重新确定中间位置的参数。首先确定中间位置a2的位置，随后分别评估函数在a1、a2和a3处的取值情况。通过分析上述结果数据，进一步推导出二次拟合曲线的各项参数c1和c2，并计算该二次函数的极值位置ap，并判断其是否位于当前区间内部。每当进行一次循环时，程序首先确定参数ap所处的位置，并基于fp和f2之间的数值比较结果来调整区间边界。当ap位于a2右侧且其对应的函数值fp大于f2时，这表明极值点可能出现在区间左侧；反之，则可能在右侧。借助这种机制，程序逐步缩小搜索区间，最终达到预设的精度E。在循环完成后，如果 $f_2$ 不小于 $f_p$，则最终的极小值点为 $\theta_a = \alpha_p$，最优解对应着 $f_{\text{opt}} = f_p$；否则，则确定极小值点为 $\theta_a = \alpha_2$，并取得对应的函数值 $f_2$。该程序将输出迭代次数、极小值点的位置及其相应的函数值。 该程序通过二次插值法在指定范围内搜索一个三次函数的局部极小值点。经过反复迭代与区间调节，该程序得以高效地接近函数的极值。此方法在解决实际问题时极具价值，尤其适用于难以解析式或过于复杂的函数。