复变函数教程 - 钟玉泉
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简介：
《复变函数教程》由钟玉泉编著，全面系统地介绍了复变函数的基本理论和方法，适合数学及相关专业的学生及研究人员参考使用。
复变函数是数学领域的一个重要分支，主要研究的是在复数域上的解析函数。钟玉泉教授在这方面的研究有深入的见解与贡献。复变函数理论不仅占据着纯数学的核心地位，并且也在工程、物理及经济等领域有着广泛的应用。
一、基础概念
1. 复数：由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式（其中i² = -1），提供了一个二维的数值系统。
2. 复变函数：定义在复数域上的函数形式化表达式为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，满足Cauchy-Riemann方程，确保其解析性。
二、解析性和Cauchy-Riemann方程
1. 解析性指的是一个复变函数在其定义区域内可以展开成幂级数，并且该级数收敛。这为研究提供了坚实的基础。
2. Cauchy-Riemann条件是判断复变函数是否在某点可导的重要依据，具体表现为两个偏微分方程的形式。
三、主要性质
1. 单值性：解析函数在其定义域内不会出现多值分支的情况。
2. 可微性：意味着这些函数在整个复平面上都具有局部线性的特性。
3. 洛朗级数展开：用于处理奇点问题的工具，将解析函数表示为包括负幂次项在内的无穷序列形式。
4. Cauchy积分公式是理论中的核心部分之一，它揭示了闭合路径上积分与特定区域内值之间的关系。
四、应用领域
1. 物理学中利用复变函数来描述波动现象和粒子行为。
2. 工程学科如信号处理、电路分析等也经常使用这一工具。
3. 经济模型中的利率及汇率变动可以通过这种方法进行深入研究。
4. 边值问题的解决，格林函数以及拉普拉斯变换等技术的应用。
钟玉泉教授所著《复变函数》一书详细解释了上述概念，并通过实例和习题指导读者掌握该理论及其应用。阅读此书有助于深化对这一领域的理解并提升专业素养。
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