三角函数的傅里叶级数——关于傅里叶变换

简介：
本文探讨了三角函数的傅里叶级数展开及其与傅里叶变换的关系，揭示信号处理中周期性函数的重要性质和应用。 一、三角函数的傅里叶级数 当周期信号f(t)满足狄利赫利条件时，可以将其表示为直流分量与多个正弦或余弦分量之和。 数学表达式如下： 设周期信号为f(t)，其重复周期为T1，基波角频率为ω0 = 2π/T1。当该信号满足一定的条件下，可有以下分解形式： \[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right] \] 其中， - 直流分量为 $\frac{a_0}{2}$。 - 基波分量对应于 n = 1 的项，即 $a_1\cos(\omega_0 t) + b_1\sin(\omega_0 t)$。 - 谐波分量则包括所有n > 1的正弦和余弦项。 根据上述表达式可知： - 周期信号可以分解为直流部分及多个频率是基频整数倍的谐波成分； - 系数 $a_n$ 和 $b_n$ 分别代表各次分量的幅度，它们决定了周期信号的具体形状。 - 由于三角函数集构成了正交函数集合，因此每个系数可以直接通过积分计算得到。