东南大学数值分析之偏微分方程数值解法（第七部分）.pdf

简介：
本PDF文档为《东南大学数值分析》系列之一，专注于偏微分方程的数值解法，是该课程学习材料的第七部分。 【标题】：东南大学数值分析第七部分偏微分方程数值解法 【描述】： 本资料主要探讨了使用Crank-Nicolson格式求解抛物型偏微分方程的数值方法，该方法通过时间和空间的离散化构建差分格式，并具有较高的收敛阶数。 【解析内容】：本段落重点介绍了Crank-Nicolson格式的应用及其推导过程。这种半隐式-显式的有限差分法适用于一维或二维抛物型偏微分方程，能够提供良好的稳定性和精度。首先对原始的偏微分方程进行时间和空间上的离散化处理；然后利用二阶中心差分公式来近似空间导数，并通过前后两时间步的信息平均处理时间导数，最终得到一个线性代数方程组形式。该格式在较小的时间和空间步长下仍能保持较高的精度（截断误差为\( O(\tau^2 + h^2) \)，其中\(\tau\)表示时间步长、\(h\)代表空间步长）。因此，Crank-Nicolson方法被广泛应用于实际问题中。 【示例代码】：文中还提供了一个名为`Crank_Nicolson`的MATLAB函数实例，该函数用于实现上述格式。输入参数包括定义了具体物理现象的功能\(f\)、扩散系数\(a\)以及空间和时间范围等信息；边界条件及初始状态也作为必要参数给出。 【关键知识点】： 1. 抛物型偏微分方程：描述诸如热传导或波动这类重要物理过程。 2. Crank-Nicolson格式：一种半隐式-显式的差分方法，适用于抛物型问题，并具有较高的精度和稳定性。 3. 离散化处理：通过设定空间步长\(h\)与时间步长\(\tau\)将连续区域离散化为网格点并建立相应的差分方程。 4. 中心差分法：用于近似求解空间导数，保证二阶精度。 5. 转换至矩阵形式的线性代数问题：Crank-Nicolson格式通过一系列转换步骤将偏微分方程转化为易于计算机处理的形式。 6. 截断误差分析（\(O(\tau^2 + h^2)\)）：表明在适当控制步长的情况下，方法能够保持较高的计算精度。 7. `Crank_Nicolson`函数实现：一个用于数值求解偏微分方程的MATLAB示例程序。 掌握并运用好这一格式对于解决复杂的物理、工程等相关领域的偏微分方程问题具有重要意义。