7.1 采用有限差分法求解炉墙稳态热流问题

简介：
本研究采用有限差分法探讨炉墙在稳态条件下的热流分布，通过数值模拟方法分析温度场与热传导特性。 本节将探讨如何使用有限差分法计算通过炉墙的稳定态热流问题。这是一个二维稳态传热实例，涉及无内热源、直角坐标系、矩形网格以及狄利克雷边界条件与对流边界条件的应用。 首先考虑一个小型炉子截面图，其炉墙内部温度设定为1200℃，外部通过空气进行冷却。周围介质的温度是20°C，表面传热系数设为10 W/(m²·K)，而材料导热系数则定为0.7 W/(m·K)。 由于该炉子具有对称性特点，我们只需分析其一半区域，并将结果乘以8来获得整个系统的热损失。在构建有限差分方程时，不需要单独处理每个节点的温度计算问题。对于内部节点（如2,4），依据能量守恒原理，从相邻节点流入该点的净热量为零，这导致了一个关于相邻节点温度的线性组合方程式：\( \sum_{j} k A \Delta x (\frac{T_{i+1,j}-T_{i,j}}{\Delta x}) + \sum_{i} k A \Delta y (\frac{T_{i,j+1}-T_{i,j}}{\Delta y}) = 0 \)。 对于壁角节点（如1,1），除了导热之外，还有对流传热的影响。因此，流入和流出该点的总能量必须平衡：\( h A \Delta x (T_{2,1}-T_{1,1}) + k A \Delta x (\frac{T_{1,2}-T_{1,1}}{\Delta x}) = 0 \)。 对于非壁角边界节点（如1,3），它们受到导热和对流的共同影响，遵循能量守恒原理。其差分方程与内部节点及壁角节点有所不同：\( h A \Delta x (T_{2,3}-T_{1,3}) + k A \Delta x (\frac{T_{1,4}-T_{1,3}}{\Delta x}) + k A \Delta y (\frac{T_{1,3}-T_{2,3}}{\Delta y}) = 0 \)。 通过高斯消去法，可以建立一个线性系统来求解所有内部节点、壁角节点和非壁角边界节点的温度。每个节点的温度被视为未知数，并根据给定的边界条件（如狄利克雷边界与对流边界）确定该系统的右侧值。例如，在点1.1处，其温度受到对流边界的直接影响；而在点1.2至1.6，则是受传热系数和邻近节点的影响。 因此，通过以上方法可以构建一个离散的线性系统，其中包含了内部、壁角以及非壁角边界节点的差分方程。利用高斯消去法或其它数值解算技术，可求得炉墙内每个点的具体温度分布，并进一步计算出稳定态下的热流密度。