《线性代数导论》(第五版) 第2.5节深入讲解了向量空间与子空间的概念，通过具体例子阐述如何确定给定集合是否构成向量空间，并探讨了线性独立性和基底的重要性。
若方阵 A 有逆，则同时满足 A−1A = I 和 AA−1 = I 的条件。检验矩阵可逆性的方法是使用消元法：A 必须拥有 n 个（非零）主元素。代数上，可以利用行列式来判断矩阵是否可逆：det A 不得为零。方程角度而言，Ax = 0 只有唯一解 x = 0 才说明矩阵是可逆的。
若两个矩阵 A 和 B 均可逆，则它们的乘积 AB 同样具有逆，并且 (AB)−1 的值等于 B−1A−1。公式 AA−1 = I 实际上代表了关于 A−1 的 n 个列向量形成的 n 个方程组。通过高斯—若尔当消元法，可以将 [A I] 转换为 [I A−1]。
本书的最后一页提供了判定矩阵可逆性的共计十四条等价条件。这里假设我们讨论的是一个方阵 A，并且在寻找与其大小相同的“逆矩阵”A−1，使得其乘积等于单位矩阵 I。无论方阵 A 对向量 x 做出何种变换，它的逆矩阵 A−1 总是能够将其效果逆转回去，即两者相乘的结果是对原向量没有任何改变的单位矩阵——因此有 A−1Ax = x。
然而，并非所有方阵都存在这样的逆矩阵。一个矩阵的主要功能在于与某个特定的向量进行相互作用（如 Ax=b）。如果已知该矩阵具备可逆性，我们可以通过两边同时乘以它的逆来求得未知数x的具体值：A−1Ax = A−1b。这便直接给出了 x 的解式为 x=A−1b。
上述过程展示了如何通过运用矩阵的逆来进行方程 Ax=b 中未知向量 x 的计算与分析，前提是该矩阵必须具备可逆性以确保这一操作的有效性和唯一性。
5星
