齐次坐标及其在几何变换中的应用

简介：
本文章介绍了齐次坐标的基本概念，并探讨了其在二维和三维空间中进行平移、缩放及旋转等几何变换的应用。 齐次坐标是计算机图形学中的一个核心概念，在几何变换过程中扮演着重要角色，尤其是在二维和三维空间的表示与转换方面。通过引入额外维度，齐次坐标使几何变换能够简洁地用矩阵运算来表达，从而简化了计算过程。 在n维空间中使用(n+1)维向量可以表示点的位置，例如，在二维空间中的一个点(P1, P2)，可以用(hP1, hP2, h)的三元组形式来描述。这里h被称为哑坐标或齐次参数，其值的不同会导致同一位置在不同比例下的多种表示方式。比如，对于(2, 3)这个二维空间里的点而言，通过不同的h值得到的可能表示包括(1, 1.5, 0.5)，(4, 6, 2)和(6, 9, 3)等。 普通坐标与齐次坐标之间的转换关系是“一对多”的。从普通坐标转为齐次坐标，可以通过乘以不同的h来实现；反之，则通过除以h将齐次坐标还原成普通形式。当h取值为1时，这种表示即称为规范化或标准的齐次坐标。 使用齐次坐标的另一个主要好处在于它能简化几何变换的操作。借助于统一矩阵的形式可以表达各种类型的变换操作如旋转、缩放和平移等，并且这些都可以用同一个4x4矩阵来实现。这使得在二维空间中，点从一个坐标系转换到另一坐标系变得相当简单。 1. 平移变换：改变图形位置而不影响其形状和大小的操作可以通过齐次坐标的乘法运算直接完成。 2. 缩放变换：可以沿X轴或Y轴单独进行缩放或者两者同时等比例地放大/缩小。若使用大于1的因子，则图像被扩大；反之则缩小。 3. 对称变换：通过特定矩阵实现关于坐标轴或是任意直线上的镜像操作，比如绕着y轴、x轴或者是原点对称。 4. 旋转变换：逆时针旋转可以通过一个旋转矩阵完成。通常情况下，这种转动的中心设定为原点位置。 5. 错切变换：沿某一方向进行错位而保持另一维度不变的操作可以产生扭曲效果。 借助于齐次坐标，能够轻松组合这些基本操作以执行更加复杂的几何转换任务，并且这种方式直观、易于硬件实现。此外，它还提供了一种自然的方式来表示无穷远点，这对于处理透视投影等图形渲染技术来说至关重要。 总的来说，在计算机图形学和图像处理领域中，齐次坐标是一种强大的工具，极大地简化了二维及三维空间中的变换过程，并支持多种复杂几何操作的组合应用。