本课程探讨偏微分方程数值解方法，并深入研究其在智能电网物联网技术领域的实际应用，旨在解决复杂系统建模与分析问题。
第二十章 偏微分方程的数值解
自然科学与工程技术中的许多运动发展过程及平衡现象遵循特定规律。这些规律通常通过包含未知函数及其导数的方程式来定量表达，其中含有多元未知函数偏导数的称为偏微分方程。
在偏微分方程中出现的最大阶次为该方程的阶。如果一个方程对于所有变量和其对应的偏导数都是线性的，则称它是一个线性偏微分方程；否则称之为非线性偏微分方程。
初始条件与边界条件合称为定解条件，没有附加这些条件时所得到的偏微分方程式被称为泛定方程。对于具体问题而言，通常同时提出相应的定解条件和泛定方程，并共同构成一个完整的数学物理问题或称作“定解问题”。
§1 偏微分方程的定解问题
各种不随时间变化且具有恒常性质的过程可利用椭圆型偏微分方程式来描述。其中最典型、简单的形式是泊松(Poisson)方程：
$$
\Delta u = f(x, y)
$$
当$f(x,y)=0$时，该式退化为拉普拉斯(Laplace)方程或称调和方程:
$$
\Delta u= 0
$$
这些方程式在描述稳定热源的温度分布、不可压缩流体无旋流动及静电场中的电势问题中非常有用。
泊松(Poisson)方程的第一边值问题是：
$$
\begin{cases}
u(x,y)= \phi(x, y), & (x,y)\in \Gamma \\
-\Delta u = f(x, y), & (x,y)\in \Omega
\end{cases}
$$
这里$\Omega$是一个以$\Gamma$为边界的有界区域，且$\Gamma$是分段光滑的曲线。当边界条件满足时，定解问题可以被完整描述。
第二类和第三类边界条件可以通过统一表示：
$$
u(x,y) + \alpha (x, y)\frac{\partial u}{\partial n} = \phi(x, y)
$$
其中$n$是$\Gamma$的外法线方向。当$\alpha=0$时，这是第二类边值问题；否则为第三类。
在研究热传导、气体扩散及电磁场传播等随时间变化的现象中，会遇到抛物型偏微分方程如一维热传导方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial ^2u }{ \partial x^2}
$$
对于此类问题可以有初值（Cauchy）和其他类型的定解条件。
5星
