针对TSP问题的分支定界方法进行求解。

简介：
支限界法，又称剪枝限界法或分支定界法，是一种类似于回溯法的搜索算法，用于在问题的解空间树T上寻找问题解决方案。相较于回溯法，支限界法具备两点显著差异：首先，回溯法仅通过约束条件排除不可行的解，而支限界法不仅依赖于约束条件，更通过目标函数的限界值来减少无效的搜索过程，从而剪去部分不包含最优解的可行解。其次，其在解空间树上的搜索方式有所不同。回溯法通常采用深度优先搜索的方式遍历解空间树，而支限界法则倾向于采用广度优先或最小耗费优先的搜索策略。支限界法的核心搜索策略在于，在扩展节点处首先生成所有可能的子节点（分支），随后从当前的活跃节点表中选择下一个扩展节点进行处理。为了高效地选择下一扩展节点并加速搜索进程，在每个活跃节点处计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值从活跃节点表中选取最有利的节点作为扩展节点，从而引导搜索朝着包含最优解的分支推进，力求尽快寻找到最优解。不同的选择下一扩展结点的策略导致了多种类型的支限界法。其中较为常见的两种方式包括：队列式（FIFO）分支限界法和优先队列式分支限界法。队列式分支限界法将活跃节点表组织成一个队列，并按照先进先出原则选取下一个结点作为当前扩展结点。相反，优先队列式分支限界法则将活跃节点表按照某个估值函数C(x)的值组织成一个优先队列，并依据优先队列中规定的结点优先级选取优先级最高的结点作为当前扩展结点。影响支限界法搜索效率的主要因素有两个：一是优先队列Q的优先级由估值函数C(x)确定；如果该函数能够保证在尽可能早的时间内找到最优解，那么搜索空间就能得到显著缩小。二是限界函数u(x)，其严格程度越高，就越有可能剪去更多的分支，从而有效减少搜索空间。在利用支限界法解决旅行商问题（TSP）时，涌现出许多优秀的限界函数和估值函数（限于篇幅此处不再详述），使得该算法在大多数情况下下的搜索效率远高于回溯法。然而，在最坏情况下该算法的时间复杂度仍然为O(n!) ，并且有可能需要存储所有(n-1)!个节点的元组到队列中。近似算法是指不能保证找到最优解的算法；但通常能找到较为理想的解决方案或近似最优解。[20]一般来说,近似算法的时间复杂度较低,通常是多项式时间内的.由于近似算法具有较高的时间效率,因此它们主要应用于实际应用场景.这类算法一直是研究的热点.传统的近似算法主要依赖于贪心策略和局部搜索方法；近年来,随着以遗传算法为代表的新型启发式搜索算法不断完善, 在解决 TSP 问题上取得了显著进展.遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等已被广泛认可为有效的解决方案.本节将着重介绍传统的近似算法.