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这是一份非常有价值的petsc学习笔记。

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简介：
这份petsc学习笔记，对掌握petsc框架具有极大的裨益，被广泛认为是初学者入门的权威指南。

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  • 一份较详尽的《常微分方程》笔记
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    这份《常微分方程》笔记涵盖了课程的核心内容与重点难点，包括各类解法及实例解析，适合需要深入学习和复习的同学参考使用。 《常微分方程》是一门研究物体动态行为及系统演变的重要数学学科。这份194页的学习笔记全面概述了该领域的基础知识与求解方法，由密歇根州立大学数学系的Gabriel Nagy撰写。 一阶常微分方程是笔记的重点内容之一，涵盖了多个关键部分。首先介绍了基本概念和线性常系数方程的形式及其易于求解的特点。接着详细讨论了解线性方程的方法，包括积分因子法及初始值问题处理技巧，并涉及变系数的伯努利方程等复杂情况以及相应的解决策略。分离变量法是另一个重要主题，适用于f(x)dx + g(y)dy = 0形式的方程，其中包括欧拉齐次方程等内容。此外还探讨了精确微分方程和半精确微分方程的相关知识，并通过实例展示了线性常微分方程在实际问题中的应用情况。 当进入二阶常微分方程部分时，笔记首先讨论了变量系数的情况及其解法、同质化方程的性质以及Wronskian函数的重要性。Abel定理是这部分内容的关键概念之一，它有助于理解线性方程组的解决方案结构。此外还介绍了降阶方法的应用案例和常数特征多项式的求根技巧，特别是当存在复数根时如何寻找实解的方法。笔记中也对Euler等幂方程这一特殊类型的二阶微分方程进行了深入讲解。 这份详尽的学习资料为读者提供了坚实的理论基础，并通过实例加深了对各种解法的理解。无论是初学者还是希望深化理解的高级学习者，都能从中受益匪浅。其结构化的章节设置使得读者能够逐步掌握常微分方程的复杂性，并将其应用于物理学、工程学及生物学等领域中的实际问题中去。
     
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  • TensorFlow 2.0 学习笔记（一）
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    本系列文章为初学者提供TensorFlow 2.0的基础教程和实践案例分析，帮助读者快速掌握深度学习框架的核心概念与操作技巧。 在本篇TensorFlow 2.0的学习笔记中，我们将探讨数据读取与展示、模型构建、数据归一化、回调函数、回归模型、分类模型、深度神经网络（DNN）、批归一化技术、激活函数应用、dropout正则化方法以及Wide&Deep架构。此外还会介绍使用子类API实现wide&deep模型，多输入和多输出结构的创建，及超参数搜索策略。 首先导入必要的库文件： - matplotlib用于数据可视化 - numpy进行数值计算 - pandas处理表格数据 - sklearn提供机器学习工具包 同时检查各库版本确保兼容性。在此示例中使用TensorFlow 2.0.1和Keras 2.2.4-tf。 接着，我们下载并加载Fashion-MNIST数据集，这是一个广泛用于图像分类任务的数据集合。将数据分为训练组与验证组，其中前5000个样本作为测试用例，其余部分构成训练集。每个输入是大小为28x28像素的灰度图片，并附带一个表示10种类别的标签。 为了更好地理解这些数据，我们可以通过一些函数展示单幅图像和多张图像组成的网格形式。例如，`show_single_image`用来显示单独的一副图；而`show_imgs`则可以以3x5大小的形式一次性展示多个样本及其对应的类别信息。 在模型构造阶段，介绍了两种基本方式：Sequential模型与子类API。 - Sequential是简单的层堆叠方法，适用于结构较为直接的网络设计。比如创建一个序列化的DNN，在最开始添加一层Flatten操作来将二维图像转化为一维向量以供后续全连接层使用。 - 子类API允许开发人员通过继承`tf.keras.Model`来自定义更加复杂的模型架构，并可以自由地编写前馈传播逻辑。 数据预处理环节包含归一化步骤，即调整输入值至统一的范围内（通常为0到1之间）。在TensorFlow中，可以通过`tf.keras.layers.Rescaling`或直接于加载阶段进行此操作来实现这一目标。 回调函数用于训练过程中执行特定任务，例如模型保存、早停机制和学习率调节等。Keras提供了一系列预定义回调选项供开发者选择使用。 对于实际问题的解决，我们可能会遇到回归与分类两种类型的任务。 - 回归模型主要用于预测连续值输出； - 分类模型则用于辨别离散类别标签。例如，在Fashion-MNIST中应用多类别Softmax激活函数以完成图像识别任务。 深度神经网络由多个层次构成，能够学习到更为复杂的特征表示；而批归一化技术通过标准化每层的输入来加速训练过程并提高稳定性。 Dropout正则化方法在训练期间随机关闭一部分神经元节点，从而减少模型过拟合的风险。 Wide&Deep架构结合了线性模型与深度网络的优势：前者能够利用特征间的简单组合关系；后者可以捕捉到更为复杂的非线性模式。这使得该框架适用于多种应用场景。 此外，在TensorFlow中还可以借助`Keras Tuner`工具进行超参数搜索，例如通过随机或贝叶斯优化策略来寻找最优配置。 多输入和输出模型能够同时处理多个数据流并生成多样化的结果集，这对于解决复杂问题尤其有用。比如在多元任务场景下可以发挥重要作用。 这篇笔记涵盖了从基础的数据准备到高级的架构设计及调优技巧，为入门TensorFlow提供了一个全面而清晰的学习路径。
     
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    《数值分析学习笔记》是一份详细记录了数值分析课程核心概念、算法原理及编程实现的学习资料，适用于需要深入理解科学计算方法的学生和研究人员。 总结数值分析各个分支的相关概念和公式定理。数值分析是一个广泛的数学领域，它涵盖了多种方法和技术用于解决各种类型的数学问题的近似解法。以下是几个主要的分支及其核心内容： 1. **插值与逼近**：研究如何通过已知数据点构造函数来估计未知的数据或进行曲线拟合。 2. **数值积分和微分**：这些技术包括求定积分的方法（如梯形法则、辛普森法则）以及计算导数的近似方法。 3. **线性代数方程组与矩阵理论**：研究如何有效地解决大规模系统的线性方程，使用的技术有高斯消元法及其变种等。 4. **非线性方程求解**：包括牛顿-拉夫森迭代和其他根寻找算法。 5. **优化问题的数值方法**：处理最大化或最小化函数值的问题，涉及梯度下降、共轭梯度和信赖域策略等技术。 6. **常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）数值解法**：包括欧拉方法、龙格-库塔法以及有限差分/元法。 每个分支都有其独特的理论基础及应用背景，掌握这些基础知识对于深入理解并开发高效的算法至关重要。