《数值线性代数》(徐树方)课后习题答案

简介：
本书提供了《数值线性代数》（作者：徐树方）一书中的课后习题解答，旨在帮助学生深入理解课程内容，掌握相关算法和理论知识。 ### 数值线性代数（徐树方）课后答案解析 #### 一、求下三角阵的逆矩阵的详细算法 在数值线性代数的学习过程中，掌握如何求解下三角矩阵的逆是非常重要的一个知识点。对于下三角矩阵(L)的逆矩阵(T)，可以通过待定系数法来求解。 **算法描述**： 1. **初始化**：将(T)初始化为单位矩阵(I)。 2. **逐列求解**：将(T)按照列进行分块，对于每列(t_j)，求解方程(Lt_j = e_j)，其中(e_j)是单位向量，第(j)个元素为1，其余元素为0。 3. **具体算法步骤**：对于每一列，利用前代法求解对应的线性方程组，得到每一列的解向量，进而得到整个矩阵(T)。 **算法示例**：假设有一个3×3的下三角矩阵(L)，则可以构造3个方程组，分别求解(T)的第一、第二、第三列。 #### 二、求解两个上三角矩阵的线性方程组 若给定两个上三角矩阵(T)和(R)，以及线性方程组(TRx = b)，且已知该方程组是非奇异的，则可以采用以下算法求解。 1. **第一步**：求解(T)的逆矩阵(T^{-1})，采用回代法进行计算。 2. **第二步**：计算(T^{-1}R)。 3. **第三步**：用回代法求解((T^{-1}R)x = b)。 4. **第四步**：再次使用回代法求解(TRx = b)。 总运算量为(frac{3n^2}{2} + frac{5n}{2})，其中(n)是矩阵的维度。 #### 三、Gauss变换的性质 1. **证明**：如果(M)是一个Gauss变换，则(M^{-1})也是一个Gauss变换。 - 根据定义，易知(M^{-1})同样是一个Gauss变换。接下来需要验证(M^{-1}M = I)。 - 设(M = I - ve^T)，其中(v)为列向量，(e)为行向量。 2. **确定Gauss变换**：给定一个矩阵，要求通过一次Gauss变换，使得矩阵的某些行发生变化。 - 通过比较原矩阵与目标矩阵的差异来确定具体的Gauss变换形式。 #### 四、三角分解的唯一性 1. **证明**：如果一个矩阵(A)有三角分解(A = LU)，并且是非奇异的，则(L)和(U)是唯一的。 - 设(A = L_1U_1 = L_2U_2)，其中(L_1, L_2)为单位下三角矩阵，(U_1, U_2)为上三角矩阵。证明L和U唯一。 #### 五、严格对角占优阵的性质 1. **证明**：如果一个矩阵(A)是严格对角占优的，经过一步Gauss消去后得到的矩阵仍然是严格对角占优的。 - 计算新矩阵的主对角线元素和非主对角线元素，并验证其满足严格对角占优条件。 #### 六、正定阵的Gauss消去法 1. **应用**：如果矩阵(A)是正定阵，在进行Gauss消去法的过程中，不需要存储下三角矩阵(L)，可以直接利用上三角矩阵(U)求解方程组(Ax = b)。 - 通过初等行变换将A转化为上三角矩阵U。 - 利用回代法求解方程组(Ux = y)，其中(y)是通过初等变换得到的向量。 以上内容涵盖了《数值线性代数》课程中的多个重要知识点，包括但不限于下三角矩阵的逆、上三角矩阵的线性方程组求解、Gauss变换及其性质、三角分解的唯一性和正定阵的独特性质。这些概念不仅在理论上有重要意义，在实际计算中也非常关键。通过深入理解这些内容，可以更好地解决数学模型中的问题。