反馈线性化在非线性控制系统中的应用
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简介：
本研究探讨了反馈线性化技术在处理非线性控制系统的有效性与适用范围，旨在通过数学建模和仿真分析优化系统性能。
### 非线性控制系统的反馈线性化
#### 一、局部线性化—谐波平衡法—全局线性化
##### 1.1 局部线性化（李雅普诺夫/雅可比矩阵）
考虑一个自治系统，假设该系统中的函数\( f \)是连续且可微的。系统的动态特性可以表示为：
\[
\dot{x} = f(x)
\]
其中 \( x \) 是状态向量。在平衡点 \( x_0 \) 处，可以通过雅可比矩阵 \( A \) 进行局部线性化，即
\[
A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=x_0}
\]
这样得到的线性系统为：
\[
\dot{x} = Ax
\]
此线性化模型是原非线性系统的平衡点 \( x_0 \) 处的近似。
当引入控制输入 \( u \)，动态方程变为：
\[
\dot{x} = f(x, u)
\]
在平衡点 \( (x_0, u_0) \)处，有
\[
A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0, u_0)}
]
B = \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{(x_0, u_0)}
]
因此，在平衡点 \( (x_0, u_0) \)，系统的线性化模型为：
\[
\dot{x} = Ax + Bu
\]
##### 1.2 谐波平衡法（描述函数）
对于非线性系统，可以采用谐波平衡方法进行近似。例如，考虑经典的范德波尔方程：
\[
\ddot{x} - \alpha (1 - x^2) \dot{x} + x = 0
]
假设系统的振荡信号 \( x(t) \) 可以表示为正弦形式：
\[
x(t) = A sin(\omega t)
]
非线性部分的输出可以近似为
\[
\dot{x}(t) = A \omega cos(\omega t)
]
定义描述函数 \( N(A) \)，它是非线性环节输出与输入信号基波分量之比。通过这种方法，我们可以利用线性系统理论来分析和设计非线性控制系统。
##### 1.3 反馈（全局）线性化
反馈线性化的关键在于通过代数变换将系统的动态特性转化为线性的形式，而不是依赖于局部的近似方法。例如，在水箱液位控制问题中，系统的动力学方程为：
\[
\dot{h} = \frac{1}{A}(u - gh^2)
]
通过选择适当的控制输入 \( u \)，如
\[
u = \alpha(h - h_d) + gh^2
]
其中 \( h_d \) 是期望的液位高度，\( \alpha > 0\)。这样闭环系统的动力学方程变为：
\[
\dot{h} = -\alpha (h - h_d)
]
这是一个线性系统，可以利用成熟的线性控制理论进行设计和分析。
#### 二、反馈线性化的直观概念
通过非线性变换与反馈机制消除非线性影响，使复杂控制系统表现出类似于线性的动态特性。例如，在水箱液位控制问题中，选择合适的输入信号可以使系统的动力学行为变得简单且易于处理。这种方法不仅简化了对非线性系统的研究和设计过程，并为采用更高级的控制策略如模型预测控制提供了可能。
反馈线性化方法使复杂非线性控制系统能够转化为可直接应用传统线性理论进行分析与设计的形式，这对于工程实践中的控制器开发具有重要价值。
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