《数字通信第4版》练习解答与错误更正

简介：
### 数字通信（第四版）习题答案及勘误修正解析#### 第二章知识点解析**知识点一：概率计算**在《数字通信（第四版）》第二章中，问题2.1涉及到基本的概率计算原理。该问题展示了如何计算两个事件集合\(A_i\)和\(B_j\)的概率。具体来说，通过将每个\(A_i\)事件发生的概率表示为与之相关的\(B_j\)事件概率的总和来求解。**解析：**根据题目中的信息：\[ P(A_i) = \sum_{j=1}^{3} P(A_i, B_j), i = 1, 2, 3, 4 \]我们可以分别计算出\(A_1, A_2, A_3, A_4\)的概率。- \(P(A_1) = \sum_{j=1}^{3} P(A_1, B_j) = P(A_1, B_1) + P(A_1, B_2) + P(A_1, B_3) = 0.1 + 0.08 + 0.13 = 0.31\)- \(P(A_2) = \sum_{j=1}^{3} P(A_2, B_j) = P(A_2, B_1) + P(A_2, B_2) + P(A_2, B_3) = 0.05 + 0.03 + 0.09 = 0.17\)- \(P(A_3) = \sum_{j=1}^{3} P(A_3, B_j) = P(A_3, B_1) + P(A_3, B_2) + P(A_3, B_3) = 0.05 + 0.12 + 0.14 = 0.31\)- \(P(A_4) = \sum_{j=1}^{3} P(A_4, B_j) = P(A_4, B_1) + P(A_4, B_2) + P(A_4, B_3) = 0.11 + 0.04 + 0.06 = 0.21\)同理，我们也可以计算出\(B_1, B_2, B_3\)的概率：- \(P(B_1) = \sum_{i=1}^{4} P(A_i, B_1) = P(A_1, B_1) + P(A_2, B_1) + P(A_3, B_1) + P(A_4, B_1) = 0.1 + 0.05 + 0.05 + 0.11 = 0.31\)- \(P(B_2) = \sum_{i=1}^{4} P(A_i, B_2) = P(A_1, B_2) + P(A_2, B_2) + P(A_3, B_2) + P(A_4, B_2) = 0.08 + 0.03 + 0.12 + 0.04 = 0.27\)- \(P(B_3) = \sum_{i=1}^{4} P(A_i, B_3) = P(A_1, B_3) + P(A_2, B_3) + P(A_3, B_3) + P(A_4, B_3) = 0.13 + 0.09 + 0.14 + 0.06 = 0.42\)这些计算基于联合概率的基本定义和性质。**知识点二：条件概率和链式法则**问题2.2探讨了条件概率的概念以及链式法则的应用。链式法则是一个重要的概率理论工具，用于分解多变量的概率分布。**解析：**首先给出链式法则的基本形式：\[ p(x_1, x_2, \ldots, x_n) = p(x_1) \prod_{i=2}^n p(x_i | x_{i-1}, \ldots, x_1) \]接下来证明链式法则对于任意\(n\)都成立。- 对于\(n=2\)，链式法则成立，即： \[ p(x_1, x_2) = p(x_2 | x_1) p(x_1) \]- 假设对于某个\(k\)，链式法则成立，即： \[ p(x_1, x_2, \ldots, x_k) = p(x_1) \prod_{i=2}^k p(x_i | x_{i-1}, \ldots, x_1) \]- 那么对于\(k+1\)的情况，有： \[ p(x_1, x_2, \ldots, x_k, x_{k+1}) = p(x_{k+1} | x_k, x_{k-1}, \ldots, x_1) p(x_1, x_2, \ldots, x_k) \] 将假设情况代入上式： \[ p(x_1, x_2, \ldots, x_k, x_{k+1}) = p(x_{k+1} | x_k, x_{k-1}, \ldots, x_1) p(x_1) \prod_{i=2}^k p(x_i | x_{i-1}, \ldots, x_1) \] 这样就证明了对于\(k+1\)链式法则也成立。通过数学归纳法，可以证明链式法则对于任意正整数\(n\)都成立。**知识点三：随机变量变换**问题2.3和2.4讨论了随机变量的变换及其概率密度函数的变化规律。这包括了一般的一维随机变量变换和特定情况下（如高斯随机变量）的变换。**解析：**- **问题2.3**：对于一般的一维随机变量\(X\)和其线性变换\(Y = aX + b\)，\(Y\)的概率密度函数可以通过\(X\)的概率密度函数求得： \[ p_Y(y) = \frac{1}{|a|} p_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \] 这表明\(Y\)的概率密度函数可以通过对\(X\)的概率密度函数进行缩放和平移得到。- **问题2.4**：当\(X\)为高斯随机变量时，即\(X \sim \mathcal{N}(0, 1)\)，并且\(Y = (aX + b)^{1/3}\)时，\(Y\)的概率密度函数可以表示为： \[ p_Y(y) = \frac{1}{3a} \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \left(\frac{y - b}{a}\right)^{2/3} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y - b}{a}\right)^{2/3}} \] 这里，\(a\)和\(b\)是给定的常数，\(p_X(x)\)是标准正态分布的概率密度函数。此结果通过直接应用变换公式得出，并考虑了高斯随机变量的特殊性质。通过这些问题的学习，读者能够深入了解概率论的基本概念、条件概率的计算方法以及随机变量变换的数学处理技巧，这对于深入理解数字通信中的信号处理、噪声分析等内容具有重要意义。