关于非定常斯托克斯方程的弱Galerkin有限元方法的研究论文

简介：
本研究论文探讨了针对非定常斯托克斯方程的新型弱Galerkin有限元方法，通过创新性地应用弱形式伽辽金技术来提高数值解的准确性和稳定性。该方法为流体力学中复杂问题提供了一种有效的求解途径。 弱Galerkin有限元方法是求解非定常斯托克斯方程数值问题的重要研究领域之一。斯托克斯方程在流体力学中用来描述粘性流体的运动，广泛应用于气象、海洋以及工程等领域。当这些流动过程随时间变化时，则需要处理非定常斯托克斯方程。由于这类方程通常没有解析解，因此数值方法成为求解的主要手段。 有限元法（FEM）是现代计算力学和计算流体力学中的主要工具之一，通过将连续域分割为小的离散单元，并利用数值积分技术来解决微分方程问题。传统有限元方法中，通常使用满足Babuska-Brezzi条件的一对空间来逼近解，但这种方法存在一定的局限性：例如对于网格的要求较高，在处理复杂边界时可能遇到挑战。 弱Galerkin有限元法（WG FEM）由Junping Wang教授于2011年首次提出。这是一种改进的有限元方法，其核心是将微分算子以分布形式或广义函数的形式表示出来，从而可以有效地处理不可微或者不连续的情况。该方法的主要特点包括：近似解是非连续的；常规导数被转换为分布形式。 本段落中作者介绍了基于速度-压力公式的非定常斯托克斯方程弱Galerkin有限元法的研究成果。通过使用斯托克斯投影，可以得到关于速度H1范数和速度及压力L2范数的最佳阶误差估计。这意味着利用该方法可以获得最优收敛速率的数值解精度保证。 斯托克斯投影是一种将流体的速度场映射到一个具有特定性质（如无旋性和不可压缩性）的有限维空间的技术，这在处理涉及粘性效应的问题时非常有用。 在计算数学中，误差估计是评估数值方法性能的关键工具。最优阶误差估计表明，在一定的网格尺寸下，解与精确值之间的差异遵循某种理论上的收敛速率（如线性或二次）。具有这种性质的数值方法通常表现出良好的稳定性和精度。 该研究成果发表于《美国计算数学杂志》2018年第8期，并由开放获取期刊提供。文章作者来自青岛科技大学数学与物理学院，分别是陈宁和海明顾。文中基于斯托克斯投影，在速度-压力公式框架下构建了非定常斯托克斯方程的弱Galerkin有限元方法，并证明该方法在H1范数及L2范数上具有最佳阶误差估计。这项研究为非定常斯托克斯方程数值求解提供了一种新的途径，对进一步探索更复杂的流体力学问题有重要的参考价值和推动作用。