第18讲 高斯过程入门一式

简介：
本讲座为初学者介绍高斯过程的基础知识和应用方法，涵盖其定义、性质及在机器学习中的基本用途。 第六章 高斯过程（一）主要探讨了多元正态分布的概念、性质及其应用。多元正态分布，在概率论和统计学中占有重要地位，尤其是在处理多维数据方面非常常见。 1. **n元正态分布的定义**：一个n元随机向量X=(X_1, X_2, ..., X_n)^T，其均值为μ=(μ_1, μ_2, ..., μ_n)^T，协方差矩阵记作B。当B是非负定对称矩阵时，该随机向量服从正态分布。它的概率密度函数f(x)是一个与B相关的指数形式的函数，并且在多维情况下依旧保持了一元正态分布的基本结构。 2. **边缘分布**：如果一个n元随机向量X服从多元正态分布，则其任意子集也必然符合正态分布，这意味着正态性的特性可以传递到这些子集中去。 3. **独立性条件**：在n维的条件下，各随机变量相互独立的一个充分必要条件是它们之间两两不相关。具体来说，在协方差矩阵B中除了对角线元素外的所有其他位置都为零的情况下，相应的正态分布中的各个随机变量就是互相独立的。 4. **经过线性变换后的性质**： - 线性组合的新期望值等于原各随机变量期望值按比例相加的结果。 - 通过线性变换得到的新向量Z的协方差矩阵可以通过原始数据的协方差矩阵和相应的变换矩阵来计算得出。 - 当一个n维正态分布经过某些特定形式的矩阵变换后，其依然保持为正态分布，并且可以基于原均值、协方差以及变换矩阵准确地推导出新的参数。 - 通过应用适当的旋转（即使用某个合适的正交矩阵U进行转换），可以使随机向量中的各分量相互独立。 5. **实例说明**：本章还提供了一些具体的例子来帮助理解，例如关于四个正态分布变量线性组合的期望值特性以及二维情况下的相关性和独立性的关系等。 这些内容构成了学习高斯过程的基础部分，对于深入理解和应用这一概念至关重要。由于其能够有效描述多变量之间的相互依赖关系，并且拥有强大的数学工具支持，因此在机器学习、信号处理和统计推断等领域中具有广泛的应用价值。