非定常Stokes方程的混合有限元方法 (2008年)

简介：
本文探讨了针对非定常Stokes方程的高效数值解法，重点介绍了混合有限元方法的应用及其在流体动力学中的重要性。通过详尽分析与实例验证，展示了该方法在求解复杂流动问题时的有效性和精确度。 非定常Stokes方程是流体力学中的一个关键概念，在描述低雷诺数不可压缩流体的流动方面具有重要作用。这类方程可以视为Navier-Stokes方程在雷诺数接近于零时的一个简化版本，适用于地球科学、海洋学和气象学等多个领域以及工程应用中涉及的问题，如流体与固体相互作用或微通道中的流体运动。 二维非定常Stokes方程通过偏微分方程组来描述速度场\(u\)（一个二元向量）和压力场\(p\)（标量）。这些方程包括动量守恒、不可压缩条件以及初始和边界条件。其中，动量守恒的表达式为： \[\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u + \nabla p = g(x, t)\] 这里，时间变化率\( \frac{\partial u}{\partial t}\) 表示速度场随时间的变化；Δu代表粘性力的作用；g(x,t)表示外部体积力。不可压缩条件表明： \[ \nabla \cdot u = 0\] 这确保了流体的密度恒定，即其流入量等于流出量。 求解非定常Stokes方程通常采用数值方法，如混合有限元法（Mixed Finite Element Method）。这种方法将速度场和压力场视为独立变量，并通过构造适当的有限元空间来解决原问题。它的一个优势在于可以使用不同的插值函数对速度和压力进行处理，从而更好地满足不可压缩条件。 本段落中应用的混合有限元方法基于流函数-涡度表达式，即原始Stokes方程被转换为由流函数方程与涡度方程组成的系统。流函数是一个标量，在二维问题中的等值线代表了速度场的方向；而涡度是速度场旋度的一个标量表现，描述了流动的旋转特性。 文章详细讨论了基于该表达式的混合有限元离散格式和误差估计方法。首先介绍了Sobolev空间及L2空间的概念，并定义了内积与范数以支持后续分析。随后提出了具体的插值函数来分别处理流函数方程和涡度方程，最终得到了关于速度场、压力场以及涡度的最优阶L2误差估计。 这项研究展示了所提出的混合有限元方法在数值求解非定常Stokes问题时的有效性，并提供了精确模拟与预测复杂流体运动的重要工具。