本文档为《计算方法》课程的学习总结与重要知识点回顾，涵盖数值分析基础、算法设计及其实验验证等内容。
数值分析总结：常微分方程的概述与数值解法
首先介绍什么是常微分方程。凡含有参数、未知函数及其导数（或微分）的方程式称为微分方程，其中如果未知函数只依赖于一个自变量，则称其为常微分方程；若涉及多个自变量则称之为偏微分方程。在学习高等数学时已经接触过一些简单的常微分方程解法，例如可分离变量、齐次、降阶和一阶线性微分方程式等，并且这些情况下的解析解是可以求得的。
然而，在实际应用中遇到的问题往往远比教科书中所提到的情况复杂得多。许多情况下我们面对的是那些没有明确解析表达式的常微分方程，或者即使可以找到形式上的解答但计算过程极其繁复以至于无法直接使用。为了解决这些难题，历史上不少杰出的数学家贡献了自己的智慧，其中尤以欧拉的工作最为关键。
他首先提出了向前和向后两种基本的数值求解方法（即著名的“欧拉法”），之后其他研究者在此基础上进行了改进和完善——例如梯形法则、修正后的欧拉算法等等。直至后来由龙格与库塔共同提出的更为先进的四阶形式，也就是所谓的“龙格-库塔法”，这一系列技术的发展彻底改变了处理这类问题的方式方法。
以上就是关于常微分方程数值解的基本背景介绍以及相关历史发展的简要回顾。
5星
