BA雅可比矩阵推导.pdf

简介：
本PDF文档详细介绍了BA（Bundle Adjustment）算法中关键的数学工具——雅可比矩阵的推导过程，内容涵盖必要的线性代数和优化理论知识。适合研究计算机视觉与机器人技术的专业人士参考学习。 在计算机视觉领域，三维点的二维图像投影是通过相机模型实现的，并且雅可比矩阵（Jacobian Matrix）在此过程中扮演着关键角色，用于描述局部变化率。 考虑一个空间中的三维点P，其坐标为X=[X,Y,Z]，在相机C中的投影点p的坐标为x=[u,v]。该过程包括以下步骤： 1. 从世界坐标系到相机坐标系的变换：通过旋转矩阵R和平移向量t将三维点的世界坐标（X, Y, Z）转换为在相机坐标下的位置(xG, yG, zG)。 [xG, yG, zG] = R * [X, Y, Z] + t 2. 归一化像平面的计算：将相机坐标系中的点（xG，yG，zG）归一化到标准化图像平面上(x,y)，公式如下： [x, y] = [xG/zG, yG/zG] 3. 最终成像过程：在考虑焦距f和径向畸变系数k5、k6的情况下，将归一化的坐标转换为实际的图像平面(u,v)。 [u, v] = f * d(k5, k6, r9) * [x, y] 其中，r9是从原点到该点的距离，并且d是包含径向畸变影响的函数。 雅可比矩阵A描述了输出变量（图像上的点u和v）相对于输入变量（三维坐标X及相机参数）的变化率。其形式如下： A = [∂u/∂f, ∂u/∂k5, ∂u/∂k6, ..., ∂v/∂f, ∂v/∂k5, ∂v/∂k6,...] 雅可比矩阵的计算涉及对上述步骤中各个变量求偏导数。具体包括： 1. 关于焦距f和径向畸变系数k5、k6的偏导数，通过链式法则进行。 2. 对旋转矩阵R和平移向量t各分量的微分。 雅可比矩阵在相机标定及三维重建等应用中至关重要。它帮助减少投影误差，并优化参数估计过程，在机器人视觉等领域有广泛应用价值。