第12讲线性二次调节器法

简介：
线性二次调节器（LQR）是一种广泛应用于控制系统设计的最佳控制方案。特别适用于智能汽车路径规划与轨迹跟踪系统。本讲主要研究如何运用LQR方法解决路径追踪难题，并介绍Matlab中其实现方式。LQR的关键在于确定能够使系统性能最佳的控制策略。该调节器通过优化控制输入来实现系统的稳定运行，并使性能目标函数取得最优值。在本例中，其中，性能目标函数J被定义为跟踪误差平方和与控制努力平方和之和的时间累加。其对应的数学表达式则由以下目标函数J给出：J 等于累加从 k=0 到 N 中的 xₖᵀ Q xₖ 与 uₖᵀ R uₖ 的总和。其中，k 从 0 变化至 N。 在模型中，状态向量x_k定义了系统当前的状态信息，控制输入u_k则决定了系统的操作指令。其中，Q矩阵用于加权状态误差的重要性，在其元素具有较大值时，表示我们更关注状态的精确度；而R矩阵则用于对控制输入施加惩罚作用。状态空间方程一般情况下是分立的，并常被表示为：由状态变量$\mathbf{x}_k$和控制输入序列$\mathbf{u}_k$可确定下一个状态的递推关系式：$$x_{k+1} = A x_k + B u_k$$在本研究中，在系统分析框架下，( A ) 和 ( B ) 分别对应于动态系统的状态转移矩阵和外部输入对系统的影响系数矩阵；其中的( x_k ) 和 ( u_k ) 则分别对应于第k个时间步的状态变量和控制向量。为了求解LQR问题属于最优控制领域中的典型问题，我们需要确定一个控制变量u以最小化目标泛函J。通过求解以下黎卡提微分方程可以得到该系统的最优控制策略：乘积项PA加上A的转置与P的乘积，并上常数矩阵Q减去由P、B、R^{-1}和B^T组成的复合矩阵作用于P的结果等于零。这里的P是黎卡提方程的解矩阵，它具有对称性和半正定性特征，其中包含了状态变量的重要度量。一旦确定了该矩阵的存在形式及其具体数值，最优控制输入u可以按照以下公式进行计算：u 可表示为负号乘以 R 的逆矩阵作用于 B 转置矩阵与 P 矩阵相乘的结果后经由 x 向量的作用。在实际应用场景中，一般采用迭代方法求解黎卡提方程。首先设定状态变量矩阵P作为初始值。随后进行多次迭代计算后，当状态估计误差的改变量小于预设阈值时，认为算法已满足收敛要求。在MATLAB环境中，可以调用内置函数`lqr()`来计算 controller parameters K，其结果为 R^{-1} B^T P。当系统状态被 fed back 到 controller 时，能够生成 real-time control input u 来实现 vehicle trajectory tracking.总体而言，线性二次调节器（LQR）是一种基于最小化包含状态误差与控制输入的二次性能指标的最优控制方法。在智能汽车路径规划及轨迹跟踪领域中，该技术可有效实现快速收敛并优化能量消耗的轨迹跟踪。此外，在Matlab环境下，LQR算法的实现较为简便且高效，常被用作解决此类问题的标准工具。