简介：
物理问题的描述方式主要有三种：首先，存在偏微分方程；其次，能量最小化形式；最后，弱形式。本文旨在以一种简明易懂的方式来阐述弱形式，从而增强读者通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面解决更多复杂问题的信心。COMSOL Multiphysics是唯一直接采用弱形式求解问题的软件，深入理解弱形式能够进一步加深对有限元方法（FEM）的认识，并了解COMSOL Multiphysics的使用方法。我们假设读者没有充足的时间去钻研复杂的数学细节，但希望能够快速地将弱形式应用于实际工程实践中。此外，本文还将帮助读者理解COMSOL Multiphysics文档中常用的术语和标注方法。相关理论可以参考Zienkiewicz[1]、Hughes[2]以及Johnson [3]等学者所著的研究成果。 那么，为什么必须理解偏微分方程（PDE）的弱形式呢？通常情况下，PDE方程已经被集成在COMSOL Multiphysics的各个模块中，因此无需深入研究其背后的PDE方程和相关的弱形式。在某些情况下，问题可能无法直接使用COMSOL Multiphysics内置模块解决时，我们可以借助经典PDE模版。然而，当经典PDE模版无法满足要求时，就只能依赖于弱形式（尽管这种情况相对罕见）。掌握弱形式能够使你的技能超越普通COMSOL Multiphysics用户水平，从而更轻松地理解模型库中利用弱形式构建的示例案例。另一个关键原因在于，在某些情况下，使用弱形式描述问题比使用PDE方程更为简洁明了。此外，如果你是一位教授负责教授有限元分析方法时，这也能帮助学生们更深入地理解有限元原理。最后, 随着你对有限元方法的了解不断加深, 你也将对COMSOL Multiphysics中的一些高级求解器设置有更全面的认识. 值得注意的是：在所有应用模式和PDE模式求解过程中, COMSOL Multiphysics始终会将方程式系统转化为弱形式后进行计算. PDE问题常常可以被视为最小能量问题的等效形式, 这种直觉表明 PDE方程与相应的能量最小值问题本质上是同一物理方程的不同表达方式. 同样, 弱形式几乎也是同一物理方程的第三个等效表达方式. 虽然这三种形式之间存在细微差异, 但它们却至关重要. 我们必须牢记, 这三种表述方式仅仅是求解同一个问题的三种不同途径——运用数学方法来模拟真实世界的物理现象. 根据不同的需求, 这三种方式各自具备独特的优势. PDE形式在各种文献中较为常见, 并通常提供了 PDE 方程的解法; 能量法则主要出现在结构分析文献中, 利用弹性势能最小化进行问题求解是一种自然的选择. 当我们的研究范围超出标准有限元应用领域 (例如传热和结构分析) 时, 弱形式变得不可避免. 在化工领域的传质问题和流体中的牛顿-斯托克斯方程 (N-S 方程) 则无法用最小能量原理进行表述. 本文后续将包含更多此类示例. PDE 方程是带有偏微分算子的方程, 而能量方程则以积分的形式表达出来; 积分的形式特别适合于有限元方法, 而且无需担心积分变量的不连续性——这在偏微分方程中是一个常见的问题. 弱形式也属于积分形式, 并继承了积分形式的优点; 然而, 它对积分变量的连续性要求较低, 可以被视为能量最小化形式的一般化版本. 最重要的是, 弱形式非常适用于求解非线性多物理场问题——这也是COMSOL Multiphysics的核心优势之一. 总而言之：为了更好地理解 PDE 方程的弱形式, 我们需要跳出常规的偏微分式框架之外, 对积分式进行深入研究。由于最小化能原理相对于弱式更容易理解和掌握 , 因此我们将从线弹性开始学习逐步过渡到热传导、电流传导等问题；这些物理问题都涉及相关的能量和功率可以进行最小化处理。我们将专注于静态问题并重点关注结构分析以及更具体的线弹性分析。